← 9. Ünite: Geometrik Nicelikler (2)

📖 Alan Problemleri

Alan Problemleri, 7. Sınıf Matematik dersinin 9. ünitesi "Geometrik Nicelikler (2)" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 3 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.

Hemen soru çöz ↓ Konu testi (3 soru, puanlı) Ünite testi Ünitenin bütün konuları

📖 Alan Problemleri konu anlatımı

6 dakikada okunur · 7. Sınıf Matematik

Gerçek yaşam alan problemlerinde şekil çoğu zaman tek bir geometrik şekil değildir: daire, daire dilimi, eşkenar dörtgen ve yamuk birleşmiş ya da biri diğerinden çıkarılmış olur. Çözüm yöntemi hep aynıdır: şekli tanıdığımız parçalara ayır, her parçanın alanını kendi bağıntısıyla hesapla, sonra topla ya da çıkar.

📐 Dört alan bağıntısı

Şekil	Alan bağıntısı	Gerekli ölçüler
Daire	A = π · r²	yarıçap
Daire dilimi	A = (merkez açı : 360) · π · r²	yarıçap, merkez açı
Eşkenar dörtgen	A = (köşegen₁ × köşegen₂) : 2	iki köşegen
Yamuk	A = (alt taban + üst taban) × yükseklik : 2	iki taban, yükseklik

Sorularda genellikle π = 3 alınır.

Özel durumlar:

Yarim daire = (1/2) · π · r²      (180° lik daire dilimi)
Ceyrek daire = (1/4) · π · r²     (90° lik daire dilimi)
Kare (ozel eskenar dortgen): A = (kosegen²) : 2

Çap verilmişse dikkat! Bağıntılarda yarıçap kullanılır:

Cap R verilmisse  ->  r = R : 2

Çapı doğrudan formüle koymak alanı 4 kat büyük gösterir.

➖ Çıkarma stratejisi: halka ve boşluklu şekiller

Bir şeklin içinden başka bir şekil çıkarılmışsa büyük alandan küçük alanı çıkarırız.

Örnek: Yarıçapı 8 m olan daire biçimli bir bahçenin ortasına, yarıçapı 6 m olan dairesel bir çiçeklik yapılmış; arada kalan bölge yürüyüş yolu. Yolun alanı kaç m²? (π = 3)

Buyuk dairenin alani = 3 · 8² = 3 · 64 = 192 m²
Kucuk dairenin alani = 3 · 6² = 3 · 36 = 108 m²

Yuruyus yolu = 192 - 108 = 84 m²

Daha hızlı yol — ortak çarpanı dışarı al:

A = π · (8² - 6²) = 3 · (64 - 36) = 3 · 28 = 84 m²

Bu, iki ayrı çarpma yapmaktan kısadır ve hata riski azdır.

Yaygın hata: yarıçapların farkını alıp kareye yükseltmek:

YANLIS: π · (8 - 6)² = 3 · 4 = 12 m²
DOGRU : π · (8² - 6²) = 84 m²

Karelerin farkı ile farkın karesi aynı şey değildir.

Aynı strateji yarım daireler için de geçerlidir; yalnızca her alanı ½ ile çarparsın.

➕ Toplama stratejisi: birleşik şekiller

Şekil birkaç parçanın birleşimiyse her parçanın alanını ayrı bulup toplarız.

Örnek: Bir patlamış mısır kutusunun ön yüzü, çapı 10 cm olan bir yarım daire ile bir yamuğun birleşimi. Yamuğun tabanları 10 cm ve 8 cm, yüksekliği 12 cm. (π = 3)

1. parça — yarım daire. Çap 10 cm verilmiş, yarıçapı bul:

r = 10 : 2 = 5 cm
A(yarim daire) = (1/2) · 3 · 5² = (1/2) · 3 · 25 = 37,5 cm²

2. parça — yamuk. Tabanlar 10 ve 8, yükseklik 12:

A(yamuk) = (10 + 8) · 12 : 2 = 18 · 12 : 2 = 216 : 2 = 108 cm²

Toplam:

A = 37,5 + 108 = 145,5 cm²

Hatayı yakalamak. Bu problemde yapılan tipik bir hata şu biçimde olur:

A = (1/2) · 3 · 5² + 8 · 12

İkinci terim yanlıştır: 8 · 12 yamuğun alanı değildir. Yamukta iki taban toplanır ve 2'ye bölünür; yalnızca bir tabanı yükseklikle çarpmak dikdörtgen alanı verir, yamuk alanı vermez.

Kontrol yöntemi: her parçanın alanını hesapladıktan sonra, toplam alanın şekli çevreleyen en küçük dikdörtgenden küçük olup olmadığına bak. Burada kutuyu çevreleyen dikdörtgen yaklaşık 10 × 17 = 170 cm²; bulduğumuz 145,5 cm² bundan küçük ✓

🪁 Köşegenli şekiller ve ölçek

Eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerle hesaplanır — kenar uzunluğuyla değil:

A = (kosegen1 × kosegen2) : 2

Örnek: Köşegenleri 48 cm ve 36 cm olan eşkenar dörtgen biçimli bir uçurtma:

A = (48 × 36) : 2 = 1728 : 2 = 864 cm²

İçindeki küçük eşkenar dörtgenin köşegenleri 24 cm ve 16 cm ise:

A(kucuk) = (24 × 16) : 2 = 384 : 2 = 192 cm²

Geri kalan bölge:

864 - 192 = 672 cm²

Bütün uzunluklar 2 katına çıkarsa alan ne olur?

Bu çok önemli bir ilişkidir. Deneyelim:

Kosegenler 2 katina cikarsa: 96 ve 72
A = (96 × 72) : 2 = 6912 : 2 = 3456 cm²
3456 : 864 = 4

→ Alan 4 katına çıkar. Dairede de aynıdır:

r -> 2r  ->  A = π(2r)² = 4πr²  ->  4 KAT

Genel kural: uzunluklar k katına çıkarsa alan k² katına çıkar. Uzunluklar 2 kat → alan 4 kat; 3 kat → alan 9 kat.

Daire dilimi ile gerçek yaşam: bir direğe 4 metrelik iple bağlanan bir hayvan, ipi gergin tutarak dolaştığında bir daire dilimi çizer. İp burada yarıçapı temsil eder. Hayvan bir binanın köşesine bağlıysa dolaşabileceği alan, köşenin iç açısına göre bir daire dilimidir:

Dis kosede (270°): A = (270/360) · π · 4² = (3/4) · 3 · 16 = 36 m²
Dik kosede (90°) : A = (90/360)  · π · 4² = (1/4) · 3 · 16 = 12 m²

🧩 Örnekle anlayalım

Bir parkın zemini şöyle tasarlanmıştır: yarıçapı 10 m olan bir daire biçimli havuz, bu havuzun ortasına yarıçapı 4 m olan dairesel bir ada yapılmıştır. Havuzun yanında ise tabanları 12 m ve 8 m, yüksekliği 6 m olan yamuk biçimli bir çim alan bulunmaktadır. (π = 3 alınız.) (a) Suyun kapladığı alanı bulunuz. (b) Çim alanın alanını bulunuz. (c) Toplam tasarım alanını (havuz + ada + çim) bulunuz. (ç) Bütün uzunluklar 3 katına çıkarılsa alanlar kaç katına çıkar?

Çözümü göster

(a) Suyun kapladığı alan. Su, büyük dairenin içinde ama adanın dışında. Çıkarma stratejisi:

A(buyuk daire) = π · 10² = 3 · 100 = 300 m²
A(ada)         = π · 4²  = 3 · 16  =  48 m²

A(su) = 300 - 48 = 252 m²

Kısa yol:

A(su) = π · (10² - 4²) = 3 · (100 - 16) = 3 · 84 = 252 m²  ✓

Dikkat: π · (10 − 4)² = 3 · 36 = 108 m² yazmak yanlış olurdu. Karelerin farkı ≠ farkın karesi.

(b) Çim alanın alanı. Yamuk bağıntısını kullanalım:

A(yamuk) = (alt taban + ust taban) × yukseklik : 2
A(yamuk) = (12 + 8) × 6 : 2
A(yamuk) = 20 × 6 : 2
A(yamuk) = 120 : 2
A(yamuk) = 60 m²

(c) Toplam tasarım alanı. Havuzun tamamı (su + ada) artı çim alan:

A(havuz tamami) = 300 m²   (buyuk dairenin tamami)
A(cim)          =  60 m²

Toplam = 300 + 60 = 360 m²

Kontrol: su (252) + ada (48) + çim (60) = 360 m² ✓ İki yoldan aynı sonuç çıktı.

(ç) Uzunluklar 3 katına çıkarsa.

Önce daireyi deneyelim. Yarıçap 10 → 30:

A = π · 30² = 3 · 900 = 2700 m²
2700 : 300 = 9

Yamuğu deneyelim. Tabanlar 36 ve 24, yükseklik 18:

A = (36 + 24) × 18 : 2 = 60 × 18 : 2 = 1080 : 2 = 540 m²
540 : 60 = 9

İkisinde de 9 kat.

Genel kural: uzunluklar k katına çıkarsa alan k² katına çıkar. Burada k = 3 olduğundan:

alan carpani = 3² = 9

→ Bütün alanlar 9 katına çıkar. Toplam alan 360 m² yerine 3240 m² olur.

⚠️ Sık yapılan hatalar

“Halka alanında yarıçapların farkını kareye yükseltmek.” Doğrusu π · (R² − r²)'dir, π · (R − r)² değil. 8 ve 6 için doğru sonuç 84 m², yanlış sonuç 12 m² çıkar.
“Çapı yarıçap yerine kullanmak.” Alan bağıntılarında yarıçap vardır. Çap verilmişse önce ikiye bölünür; yoksa alan 4 kat büyük çıkar.
“Yamuk alanında bir tabanı yükseklikle çarpmak.” Yamukta iki taban toplanır, yükseklikle çarpılır, 2'ye bölünür: (a + c) · h : 2. Tek tabanla çarpmak dikdörtgen alanı verir.
“Eşkenar dörtgenin alanını kenar uzunluğuyla hesaplamak.” Eşkenar dörtgende alan köşegenlerle bulunur: (e × f) : 2.
“Daire diliminde merkez açıyı 360'a bölmeyi atlamak.” Daire dilimi, dairenin (açı : 360) kadarıdır. Bu kesri atlamak bütün dairenin alanını verir.
“Uzunluklar 2 katına çıkınca alan da 2 katına çıkar sanmak.” Uzunluklar k katına çıkarsa alan k² katına çıkar: 2 kat uzunluk → 4 kat alan, 3 kat uzunluk → 9 kat alan.
“Birleşik şekilde parçaları ayırmadan tek bir formül uygulamak.” Şekil önce tanıdığımız parçalara ayrılır, her parça kendi bağıntısıyla hesaplanır, sonra toplanır ya da çıkarılır.

💡 Aklında kalsın: Alan problemlerinde şekli tanıdığın parçalara ayır, her parçayı kendi bağıntısıyla hesapla, sonra topla ya da çıkar. Daire: π·r². Daire dilimi: (açı : 360)·π·r². Eşkenar dörtgen: (köşegen₁ × köşegen₂) : 2. Yamuk: (alt + üst taban) × yükseklik : 2. Halkada π·(R² − r²) kullanılır, π·(R − r)² değil. Çap verilmişse yarıçapa çevir. Uzunluklar k katına çıkarsa alan k² katına çıkar.

Anladım, konu testini çöz ►