📖 Deneysel Olasılık
Deneysel Olasılık, 9. Sınıf Matematik dersinin 7. ünitesi "Veriden Olasılığa" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 8 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Deneysel Olasılık konu anlatımı
7 dakikada okunur · 9. Sınıf Matematik
Hava durumu, penaltı gole çevirme ya da üç sayılık atış gibi olaylarda olasılığı hesapla bulamayız; tekrarlar sonucu elde edilen verilere bakarız. Bu verilerle hesaplanan göreli sıklıklara deneysel olasılık denir. En önemli özelliği şudur: tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri kararlı hâle gelir ve teorik olasılığa yaklaşır.
🔀 Bir olay mı, birden çok olay mı?
Günlük hayatta karşılaşılan belirsiz durumlar her zaman tek bir olay içermez; çoğu zaman birden çok olay bir arada bulunur.
Birden çok olay içeren durumlar genellikle "ve" ya da "veya" ile kurulur:
| Bir olay içerenler | Birden çok olay içerenler |
|---|---|
| Toplu taşıma ile gitmek | Arkadaşlarla birlikte ve toplu taşıma ile gitmek |
| Müstakil bir yerde konaklamak | Deniz kenarında veya müstakil bir yerde konaklamak |
| Arkadaşlarla gitmek | Müstakil bir yere toplu taşıma ile gitmek |
Nasıl ayırt edilir? Durumda kaç ayrı seçimin yapıldığına bak:
"Bir kisinin hava yolu, kara yolu ya da demir yolundan birini secerek seyahat etmesi" -> TEK secim yapiliyor -> BIR OLAY "Atilan hilesiz iki sayi kubunun ust yuzeylerine cift ve asal sayi gelmesi" -> IKI kup, iki ayri sonuc -> BIRDEN COK OLAY "Bir hastanenin calisanlari arasindan uc meslege (doktor, hemsire, laborant) mensup birer temsilci secilmesi" -> UC ayri secim -> BIRDEN COK OLAY "Bir okcunun kirmizi, yesil ve mavi oklar arasindan rastgele bir ok secmesi" -> TEK secim -> BIR OLAY
Tuzak: seçeneklerin çok olması olayın "birden çok" olduğu anlamına gelmez. Üç renk arasından bir ok seçmek tek olaydır; belirleyici olan seçim sayısıdır, seçenek sayısı değil.
📊 Göreli sıklık = deneysel olasılık
Bir deneyi tekrar tekrar yapıp sonuçları sayarız. Her çıktının:
- kaç kez geldiği → sıklık
- sıklığının toplam tekrar sayısına oranı → göreli sıklık
olayin gerceklesme sayisi (siklik)
goreli siklik = ------------------------------------
toplam tekrar sayisiGöreli sıklıklar, deneysel olasılık olarak adlandırılır.
P(deneysel) = goreli siklik
Örnek: Bir çocuğun pili rastgele takması ve rastgele bir tuşa basması deneyi 50 kez tekrarlanmış:
| Yeşil tuşa basma | Mavi tuşa basma | |
|---|---|---|
| Pili yanlış takma | 15 | 17 |
| Pili doğru takma | 12 | 6 |
Toplam: 15 + 17 + 12 + 6 = 50 ✓
Her olayın deneysel olasılığı:
P(dogru takma ve yesil) = 12/50 = 0,24 = %24 P(dogru takma ve mavi) = 6/50 = 0,12 = %12 P(yanlis takma ve yesil)= 15/50 = 0,30 = %30 P(yanlis takma ve mavi) = 17/50 = 0,34 = %34
Kontrol: bütün göreli sıklıkların toplamı 1 olmalıdır:
0,24 + 0,12 + 0,30 + 0,34 = 1,00 ✓
Bu, hesabı denetlemenin en hızlı yoludur.
📈 Tekrar sayısı arttıkça ne olur?
Deneysel olasılığın can alıcı özelliği budur: tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri kararlı hâle gelir.
İki çarkın birlikte çevrildiği bir deneyi düşün. Aynı olayın göreli sıklığını farklı tekrar sayılarında ölçelim:
| Tekrar sayısı | Göreli sıklık |
|---|---|
| 25 | %12 |
| 50 | %9 |
| 100 | %11 |
| 500 | %10,2 |
| 1000 | %10,1 |
Gözlemler:
- Az tekrarda değerler oynaktır. 25 ve 50 tekrarda sonuçlar birbirinden epey farklı çıkar.
- Tekrar arttıkça dalgalanma azalır, değer bir sayının çevresinde oturur.
- Farklı grupların sonuçları, tekrar sayısı küçükken birbirinden farklı, büyükken birbirine yakın olur.
Sıklık grafiği ile göreli sıklık grafiği arasındaki fark:
SIKLIK grafigi : tekrar artinca sutunlar BUYUR
(sayilar artar)
GORELI SIKLIK grafigi: tekrar artinca sutunlarin
YUKSEKLIK ORANI SABITLENIRİşte bu yüzden olasılık tahmini için göreli sıklığa bakarız: sıklık tekrar sayısına bağlıdır, göreli sıklık ise bağlı değildir.
İki grubun verisini birleştirmek. Kendi 50 tekrarına başka bir grubun 50 tekrarını eklersen 100 tekrarlık veri elde edersin ve sonucun güvenilirliği artar. Veriyi büyütmenin en pratik yolu budur.
🎯 Deneysel olasılıktan teorik olasılığa
Teorik olasılık hesapla bulunur: istenen çıktı sayısının bütün olası çıktı sayısına oranı. Deneysel olasılık ise deneyi yapıp sayarak bulunur.
| Deneysel olasılık | Teorik olasılık | |
|---|---|---|
| Nasıl bulunur? | Deney yapılır, göreli sıklık hesaplanır | Hesaplanır, deney gerekmez |
| Ne zaman kullanılır? | Hesaplanamayan olaylarda (hava, spor, satış) | Eşit şanslı sonuçlarda (zar, para, torba) |
| Değeri | Her denemede değişebilir | Sabittir |
| Veri gerekir mi? | Evet | Hayır |
Tekrar sayısı yeterince büyüdüğünde deneysel olasılık, teorik olasılığa yaklaşır.
Hilesiz bir parayı atalım:
Teorik olasilik: P(yazi) = 1/2 = %50 (hic atmadan bilinir) 10 atis -> %70 cikabilir 100 atis -> %54 cikabilir 1000 atis -> %50,6 cikabilir
Hangisi "doğru"? İkisi de. Teorik olasılık paranın yapısını, deneysel olasılık gerçekte olanı anlatır. Az sayıda denemede ikisi arasında fark olması normaldir.
Deneysel olasılık ne zaman tek seçenektir? Teorik olasılığı hesaplayamadığımız durumlarda:
- Bir futbolcunun penaltıyı gole çevirme olasılığı
- Yarın yağmur yağma olasılığı
- Bir kafede yeni bir ürünün satılma olasılığı
- Bir otobüsün zamanında kalkma olasılığı
Bunlarda "eşit şanslı çıktı" diye bir şey yoktur; tek yol geçmiş verilere bakmaktır.
Veri yeterli mi? Bir kafe işletmecisi yeni bir tost çeşidinin satılma olasılığını kestirmek istiyorsa ekmek, peynir ve sucuk çeşitlerinin hepsine ait satış verisine ihtiyaç duyar. Yalnızca birinin verisiyle karar vermek, olayın bir bölümüne bakmak olur ve yanıltır.
🧩 Örnekle anlayalım
Bir basketbolcunun üç sayılık atışları sezon boyunca kaydedilmiştir. İlk 20 atışta 9'unu, ilk 80 atışta 30'unu, sezon sonunda toplam 250 atışın 95'ini sayıya çevirmiştir. (a) Üç farklı aşamadaki deneysel olasılık değerlerini bulunuz. (b) Bu oyuncunun üç sayı atma olasılığı için hangi değeri kullanmak daha doğrudur, neden? (c) Bu olayın teorik olasılığı hesaplanabilir mi? (ç) Oyuncunun bir sonraki atışı kaçırma olasılığı yaklaşık kaçtır?
Çözümü göster
(a) Deneysel olasılıkları hesaplayalım. Her aşamada göreli sıklığı bulalım:
İlk 20 atış:
P = 9 / 20 = 0,45 = %45
İlk 80 atış:
P = 30 / 80 = 0,375 = %37,5
Sezon sonu, 250 atış:
P = 95 / 250 = 0,38 = %38
Özet:
| Tekrar sayısı | Sayıya çeviren | Deneysel olasılık |
|---|---|---|
| 20 | 9 | %45 |
| 80 | 30 | %37,5 |
| 250 | 95 | %38 |
(b) Hangi değer kullanılmalı?
250 atışa ait %38 değeri kullanılmalıdır.
Gerekçe: tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık kararlı hâle gelir. İlk 20 atıştaki %45, az sayıda denemeden geldiği için oynaktır — oyuncu şanslı bir başlangıç yapmış olabilir.
Değerlerin seyrine bakalım:
%45 -> %37,5 -> %38
İlk iki ölçüm arasında 7,5 puanlık fark varken, son iki ölçüm arasında yalnızca 0,5 puanlık fark var. Değer %38 çevresinde oturmuş durumda; bu, tahminin güvenilir hâle geldiğini gösterir.
(c) Teorik olasılık hesaplanabilir mi?
Hayır, hesaplanamaz.
Teorik olasılık, bütün çıktıların eşit şanslı olduğu durumlarda hesaplanır (zar, para, torbadaki özdeş toplar gibi). Bir basketbolcunun atışında "sayı olur" ve "olmaz" çıktıları eşit şanslı değildir; sonucu oyuncunun becerisi, yorgunluğu, savunma ve mesafe gibi pek çok etken belirler.
Bu yüzden tek yol deneysel olasılıktır — yani geçmiş verilere bakmak.
(ç) Kaçırma olasılığı.
Bir olay ya gerçekleşir ya gerçekleşmez; ikisinin olasılıkları toplamı 1'dir:
P(sayi) + P(kacirma) = 1
0,38 + P(kacirma) = 1
P(kacirma) = 1 - 0,38
P(kacirma) = 0,62 = %62Verilerden doğrudan kontrol edelim:
kacirilan atis = 250 - 95 = 155 P(kacirma) = 155 / 250 = 0,62 ✓
İki yol da %62 verdi. Oyuncunun bir sonraki atışı kaçırma olasılığı yaklaşık %62'dir.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Sıklık ile göreli sıklık aynı şeydir” yanlıştır. Sıklık kaç kez olduğudur (bir sayı), göreli sıklık sıklığın toplam tekrara oranıdır. Olasılık tahmini için göreli sıklık kullanılır, çünkü tekrar sayısından bağımsızdır.
- “Az sayıda denemeyle deneysel olasılık bulunur” yanlıştır. Az tekrarda değerler oynaktır. 20 atışta %45 çıkan değer 250 atışta %38'e oturabilir; güvenilir tahmin için tekrar sayısı büyük olmalıdır.
- “Deneysel olasılık teorik olasılıktan farklı çıkarsa biri yanlıştır” yanlıştır. İkisi farklı şeyleri ölçer ve az denemede farklı çıkmaları normaldir. Tekrar arttıkça deneysel olasılık teoriğe yaklaşır.
- “Her olayın teorik olasılığı hesaplanabilir” yanlıştır. Teorik olasılık eşit şanslı çıktılar gerektirir. Hava durumu, spor başarısı ya da satış gibi olaylarda çıktılar eşit şanslı değildir; yalnızca deneysel olasılık kullanılabilir.
- “Seçenek çoksa olay birden çok olaydır” yanlıştır. Belirleyici olan kaç ayrı seçim yapıldığıdır. Üç renk arasından bir ok seçmek tek olaydır; iki zarın ikisine birden şart koymak birden çok olaydır.
- “Göreli sıklıkların toplamı 1 olmak zorunda değildir” yanlıştır. Bütün çıktıların göreli sıklıkları toplamı daima 1'dir (%100). Tutmuyorsa hesapta ya da sayımda hata vardır.
- “Verinin bir bölümüne bakmak yeterlidir” yanlıştır. Birden çok olay içeren bir durumda bütün bileşenlere ait veri gerekir; eksik veriyle yapılan tahmin yanıltır.
✏️ Deneysel Olasılık soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. Bir fabrikada rastgele seçilen 50 üründen 8 tanesinin kusurlu olduğu görülmüştür. Bu deneysel olasılığa göre 200 üründe yaklaşık kaç kusurlu ürün beklenir?
Deneysel olasılık: 8 / 50.
200 · 8 / 50 = 32.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 32
Deneysel olasılık: 8 / 50.
200 · 8 / 50 = 32.
2. Bir deneyde deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık için hangisi söylenebilir?
Büyük sayılar yasası: deneme sayısı arttıkça olasılık değeri kararlı hâle gelir.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Daha kararlı bir değere yaklaşır.
Büyük sayılar yasası: deneme sayısı arttıkça olasılık değeri kararlı hâle gelir.
3. Hilesiz bir madenî para art arda iki kez atılıyor. Bu deneyin örnek uzayında kaç çıktı vardır?
Çıktılar: YY, YT, TY, TT.
Örnek uzayda 4 çıktı vardır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 4
Çıktılar: YY, YT, TY, TT.
Örnek uzayda 4 çıktı vardır.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.
📚 "Veriden Olasılığa" ünitesinin konuları
- Deneysel Olasılık
- Teorik Olasılık