📖 Katlar
Katlar, 6. Sınıf Matematik dersinin 1. ünitesi "Sayılar ve Nicelikler (1)" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 3 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Katlar konu anlatımı
4 dakikada okunur · 6. Sınıf Matematik
Bir doğal sayıyı sayma sayılarıyla (1, 2, 3, 4, …) sırayla çarptığımızda o sayının katlarını elde ederiz. Doğal sayıların sonu olmadığı için bir sayının katları da sonsuzdur. Bir doğal sayının en küçük katı kendisidir; en büyük katı yoktur. Çarpanlar sınırlı, katlar sonsuzdur — aradaki fark budur.
💰 Kat nedir?
Bir öğrenci her hafta harçlığının 5 TL'sini kumbaraya atıyor. Haftalar geçtikçe kumbarada biriken para:
| Geçen hafta | Biriken para (TL) |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 10 |
| 3 | 15 |
| 4 | 20 |
| 5 | 25 |
| 10 | 50 |
| 36 | 180 |
Bu sayıların hepsi 5'in katıdır. Çünkü her biri 5 ile bir sayma sayısının çarpımıdır.
Bir doğal sayının sayma sayıları (1, 2, 3, 4, …) ile sırayla çarpılması sonucu o sayının katları elde edilir.
15 × 1 = 15 15 × 2 = 30 15 × 3 = 45 15 × 4 = 60 ... 15'in katlari: 15, 30, 45, 60, 75, ...
♾️ Katlar sonsuzdur
7'nin katlarını yazmaya başlayalım: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, …
Bu listenin sonu var mı? Yok. Çünkü sayma sayılarının sonu yoktur; her zaman bir büyük sayı daha bulup 7 ile çarpabiliriz.
- Doğal sayıların sonu olmadığı için bir doğal sayının katlarının da sonu yoktur.
- Buna karşılık bir doğal sayının (sıfır hariç) çarpanları ya da bölenleri sınırlı sayıdadır.
En küçük kat ile en büyük çarpan aynı sayıdır:
Bir doğal sayının çarpanlarının en büyüğü, katlarının ise en küçüğü o doğal sayıya eşittir.
| Sayı | Çarpanları | Katları |
|---|---|---|
| 8 | 1, 2, 4, 8 (4 tane, en büyüğü 8) | 8, 16, 24, 32, … (sonsuz, en küçüğü 8) |
| 13 | 1, 13 (2 tane, en büyüğü 13) | 13, 26, 39, 52, … (sonsuz, en küçüğü 13) |
⚖️ Çarpan mı, kat mı?
Bu ikisini karıştırmak en sık yapılan hatadır. Tek cümleyle ayıralım:
| Çarpan (bölen) | Kat | |
|---|---|---|
| Sayıdan küçük mü büyük mü? | Sayıdan küçük ya da eşit | Sayıdan büyük ya da eşit |
| Kaç tane var? | Sınırlı | Sonsuz |
| En küçüğü | 1 | Sayının kendisi |
| En büyüğü | Sayının kendisi | Yok |
| Nasıl bulunur? | Sayıyı bölerek | Sayıyı çarparak |
Örnek: 20 sayısı için
Carpanlari: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 tane) Katlari : 20, 40, 60, 80, 100, 120, ... (sonsuz)
Bir sayı hem kendi çarpanı hem kendi katıdır — bu tek kesişim noktasıdır.
🚗 Katlarla problem çözme
Belirli bir sınırdan küçük katları bulma: sınırı o sayıya bölersin, bölüm kaç çıkarsa o kadar kat vardır.
Örnek: 15'in 200'den küçük katları kaç tanedir?
200 : 15 = 13 kalan 5
→ 13 tane vardır (15, 30, 45, …, 195).
Düzenli aralıklı olaylar: Bir sürücü her 80 km'de bir mola veriyor, toplam yol 940 km. Mola yerleri 80'in katlarıdır:
80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880 940 : 80 = 11 kalan 60
→ 11 kez mola verir; son molası 880. kilometrededir.
Günlük hayatta kat: sınıf nöbet sırasının kaç günde bir bize geleceğini bulmak için sınıf mevcudunun katlarını kullanırız. Çift sayılar 2'nin katları, 5 ile bitenler 5'in katlarıdır.
🧩 Örnekle anlayalım
Bir öğretmen, her birinde 15 soru bulunan çalışma kâğıtları hazırlamıştır. Hazırladığı tüm çalışma kâğıtlarındaki toplam soru sayısı 200'den azdır. (a) Toplam soru sayısı hangi sayının katı olmak zorundadır? (b) Öğretmen en fazla kaç çalışma kâğıdı hazırlamıştır? (c) O durumda toplam kaç soru vardır?
Çözümü göster
(a) Her kâğıtta 15 soru var ve kâğıt sayısı bir doğal sayı. O hâlde:
toplam soru = 15 × (kagit sayisi)
Toplam soru sayısı 15'in katı olmak zorundadır.
(b) 200'den küçük en büyük 15 katını bul. 200'ü 15'e bölelim:
200 : 15 = 13 kalan 5
Bölüm 13 çıktı. Demek ki 15'in 200'den küçük katları 15'ten 15 × 13'e kadardır.
Kontrol edelim:
15 × 13 = 195 -> 195 < 200 ✓ 15 × 14 = 210 -> 210 > 200 ✗
→ Öğretmen en fazla 13 çalışma kâğıdı hazırlamıştır.
(c) O durumda toplam soru sayısı:
15 × 13 = 195 soru
Cevap: (a) 15'in katı, (b) 13 kâğıt, (c) 195 soru.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Katlar da sınırlıdır” yanlıştır. Katlar sonsuzdur, çünkü sayma sayılarının sonu yoktur. Sınırlı olan çarpanlardır (sıfır hariç).
- “Bir sayının en küçük katı 1'dir” yanlıştır. En küçük kat sayının kendisidir. 1 olan şey, en küçük çarpandır. 8'in en küçük katı 8, en küçük çarpanı 1'dir.
- “Çarpan ile kat aynı yönde ilerler” yanlıştır. Çarpanlar sayıdan küçük ya da eşittir (bölerek bulunur), katlar sayıdan büyük ya da eşittir (çarparak bulunur).
- “Bir sınırdan küçük kaç kat var” sorusunda bölümün yanına kalanı da eklemek yanlıştır. 200 : 15 = 13 kalan 5 iken cevap 13'tür; kalan hesaba katılmaz.
- “0 da bir kattır” karıştırılır. Katlar sayma sayılarıyla (1, 2, 3, …) çarpılarak bulunur, 0 ile başlanmaz; bu yüzden bir sayının en küçük katı kendisidir.
✏️ Katlar soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. 10 sayısının 52 sayısından büyük en küçük katı kaçtır?
10 sayısının katları hep 10 eklenerek ilerler: … 50, 60, 70 … 52 sayısından büyük ilk kat 60.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 60
10 sayısının katları hep 10 eklenerek ilerler: … 50, 60, 70 … 52 sayısından büyük ilk kat 60.
2. 9 sayısının 30 sayısından büyük en küçük katı kaçtır?
9 sayısının katları hep 9 eklenerek ilerler: … 27, 36, 45 … 30 sayısından büyük ilk kat 36.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 36
9 sayısının katları hep 9 eklenerek ilerler: … 27, 36, 45 … 30 sayısından büyük ilk kat 36.
3. 11 sayısının 54 sayısından büyük en küçük katı kaçtır?
11 sayısının katları hep 11 eklenerek ilerler: … 44, 55, 66 … 54 sayısından büyük ilk kat 55.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 55
11 sayısının katları hep 11 eklenerek ilerler: … 44, 55, 66 … 54 sayısından büyük ilk kat 55.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
Ünitenin yıl içindeki yerine göre genellikle şu yazılılarda sorulur. Okulunun konu dağılımı farklı olabilir.