📖 Doğru Orantı Problemleri

🧩 Problemi kurmak

Doğru orantı problemini çözmenin ilk ve en kritik adımı nicelikleri belirleyip doğru eşleştirmektir.

Örnek: Bir köprünün gerçek uzunluğu 4600 m, kulelerinin yüksekliği 320 m. Maketin köprü uzunluğu 230 cm olacaksa maketteki kule yüksekliği kaç cm olur?

1. adım — nicelikleri yaz.

Nicelik 1: kopru uzunlugu
Nicelik 2: kule yuksekligi

2. adım — birimleri eşitle. Bu adım çok önemlidir! Gerçek ölçüler metre, maket ölçüleri santimetre. Hepsini cm'ye çevirelim:

4600 m = 460 000 cm
 320 m =  32 000 cm

3. adım — tabloyu kur.

Maket, gerçeğin belirli bir oranda küçültülmüş hâlidir; yani gerçek ile maket arasındaki oran her ölçü için aynıdır. Bu yüzden doğru orantı kurabiliriz.

🔢 Strateji 1: Aynı sayıyla çarpıp bölmek

Tablodaki bir satırı istediğin değere getirecek işlemi diğer satıra da aynen uygularsın.

460 000  --- : 2 --->  230 000  --- : 1000 --->  230
 32 000  --- : 2 --->   16 000  --- : 1000 --->   16

Üst satırı 230'a indirmek için önce 2'ye, sonra 1000'e böldük. Aynı işlemleri alt satıra da uyguladık:

32 000 : 2 = 16 000
16 000 : 1000 = 16

→ Maketteki kule yüksekliği 16 cm'dir.

Bu strateji neden çalışıyor? Çünkü doğru orantıda oran sabittir; iki niceliği aynı sayıyla çarpar ya da bölersen oran bozulmaz.

Faydalı bir kural: bir sayıyı a ile çarpıp b ile bölmek (ya da önce b'ye bölüp a ile çarpmak), o sayıyı a/b ile çarpmakla aynıdır:

n · a : b = n · (a/b)
n : b · a = n · (a/b)

✖️ Strateji 2: Orantı kurup içler–dışlar

Oranları kesir biçiminde yazıp eşitlersin:

kule yuksekligi (gercek)     kule yuksekligi (maket)
-------------------------  =  ------------------------
kopru uzunlugu (gercek)       kopru uzunlugu (maket)

Sayıları yerleştirelim:

 32 000      x
--------- = -----
460 000     230

İçler–dışlar çarpımı (çapraz çarpım) yapalım:

460 000 · x = 32 000 · 230
460 000 · x = 7 360 000
          x = 7 360 000 : 460 000
          x = 16 cm

Aynı cevap: 16 cm ✓

Uyarı: orantıyı kurarken aynı türden nicelikleri aynı tarafa yazmalısın. "Gerçek ölçüler üstte, maket ölçüler altta" ya da "kule üstte, köprü altta" — hangisini seçerseniz her iki kesirde de aynı düzeni koruyun. Düzeni bozarsanız sonuç yanlış çıkar.

📊 Strateji 3: Birim oran ve çift sayı doğrusu

Birim oran: bir niceliğin 1 birimine karşılık gelen değeri bulursun, sonra çarparsın.

Köprü örneğinde: 1 cm maket köprü uzunluğuna kaç cm kule yüksekliği düşüyor?

32 000 : 460 000 = 0,0695...  (pratik degil)

Burada birim oran pratik değil. Ama tersten gidelim — maket, gerçeğin kaçta kaçı?

230 : 460 000 = 1 : 2000

Maket 2000 kez küçültülmüş. O hâlde:

32 000 : 2000 = 16 cm  ✓

Çift sayı doğrusu: iki niceliği alt alta iki sayı doğrusunda gösterirsin. Bir filtrenin arıttığı su örneği:

Sure (dk)  : 0 ---- 6 ---- 9 ---- 12 ---- 90
Su (L)     : 0 -- 27 -- 40,5 -- 54 ---- ?

Birim oranı bulalım:

27 : 6 = 4,5 L/dk

90 dakikada:

90 × 4,5 = 405 L

180 L için kaç dakika?

180 : 4,5 = 40 dakika

Birim oran özellikle "kaç tane / ne kadar" sorularında en hızlı yoldur.

💯 Yüzde problemleri de doğru orantıdır

Yüzde hesapları aslında birer doğru orantı problemidir, çünkü soru sayısı ile yüzde arasında sabit bir oran vardır.

Örnek: Bir öğrenci soruların %75'ini doğru cevaplamış ve doğru cevap sayısı 9. Sınavda kaç soru sorulmuştur?

Tabloyu kuralım:

Strateji 1 — sadeleştirip büyütmek:

75  --- : 25 --->  3  --- × 4 --->  12
 9  --- : 3  --->  3  --- × 4 --->  12

Yani: 75'i 25'e bölünce 3 olur, 9'u 3'e bölünce 3 olur. Sonra 100'e ulaşmak için 25'in 4 katı gerekir → 3 × 4 = 12.

Strateji 2 — orantı kurup içler–dışlar:

 9      75
--- = -----
 x     100

75 · x = 9 · 100
75 · x = 900
     x = 900 : 75
     x = 12

Sınavda 12 soru sorulmuştur.

Kontrol: 12'nin %75'i = 12 × 0,75 = 9 ✓

Aynı strateji "%40'ı 15 olan sayı kaçtır?" sorusuna da uygulanır:

15     40
--- = -----
 x    100

40x = 1500
  x = 37,5