📖 Örüntüler
Örüntüler, 6. Sınıf Matematik dersinin 6. ünitesi "İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 7 soru var. Aşağıda bu konunun kısa konu anlatımını bulursun — üyelik gerekmez.
📖 Örüntüler konu anlatımı
4 dakikada okunur · 6. Sınıf Matematik
Örüntü, belirli bir kurala göre düzenli biçimde ilerleyen sayı ya da şekil dizisidir. Bir örüntünün herhangi bir adımındaki terimi bulmak için kuralını cebirsel olarak yazmak gerekir. Adım numarasını n ile göstererek kuralı yazarsak, 100. adımı bile tek işlemle bulabiliriz.
🔢 Örüntünün kuralını bulma
Örüntü 8, 11, 14, 17, 20, … olsun. Adımlar arasındaki farka bakalım:
8 -> 11 : +3 11 -> 14 : +3 14 -> 17 : +3
Fark her adımda 3. Demek ki kuralda 3n olacak. Şimdi sabit terimi bulalım — 1. adımı kontrol edelim:
n = 1 icin 3 · 1 = 3 ama terim 8, fark: 8 - 3 = 5
Kural: 3n + 5
Sözel olarak: "adım sayısının 3 katının 5 fazlası".
Kontrol edelim:
n = 1 -> 3·1 + 5 = 8 ✓ n = 2 -> 3·2 + 5 = 11 ✓ n = 5 -> 3·5 + 5 = 20 ✓
Pratik yol: sabit fark katsayı olur, sonra 1. terime bakıp sabit terimi ayarlarsın.
| Örüntü | Fark | Kural | İstenen adım |
|---|---|---|---|
| 8, 11, 14, 17, 20, … | 3 | 3n + 5 | 12. adım: 3·12 + 5 = 41 |
| 5, 12, 19, 26, 33, … | 7 | 7n − 2 | 20. adım: 7·20 − 2 = 138 |
| 1, 11, 21, 31, 41, … | 10 | 10n − 9 | 24. adım: 10·24 − 9 = 231 |
| 6, 12, 18, 24, 30, … | 6 | 6n | 50. adım: 6·50 = 300 |
🚌 Gerçek yaşam örüntüleri
Bir gezi firması ilk hafta 8 otobüs, sonraki her hafta 5 otobüs çıkarıyor. Toplam otobüs sayısı nasıl ilerler?
| Hafta | O hafta çıkan | Toplam |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | 13 |
| 3 | 5 | 18 |
| 4 | 5 | 23 |
| 5 | 5 | 28 |
Fark 5, yani kuralda 5n var. 1. adımı kontrol edelim:
n = 1 -> 5 · 1 = 5, terim 8, fark: 3 Kural: 5n + 3
Kontrol: n = 5 → 5·5 + 3 = 28 ✓
10. hafta sonunda toplam:
5 · 10 + 3 = 53 otobus
Başka örnek: biri ilk gün 30 sayfa, sonraki her gün 8 sayfa okuyorsa toplam okunan sayfa
1. gun: 30 2. gun: 38 3. gun: 46 Fark 8 -> 8n + 22 (cunku 8·1 + 22 = 30) 20. gun: 8 · 20 + 22 = 182 sayfa
🔺 Şekil örüntüleri
Şekil örüntülerinde her adımda kullanılan parça sayısını sayıp tabloya yazarız; sonra tıpkı sayı örüntüsü gibi kuralı bulurız.
Kibrit çöpleriyle kurulan bir örüntüde:
| Adım | Kibrit sayısı | İlişki |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 · 2 |
| 2 | 4 | 2 · 2 |
| 3 | 6 | 3 · 2 |
| 4 | 8 | 4 · 2 |
Kural: 2n
100. adımda:
2 · 100 = 200 kibrit copu
Önemli bir örnek — çokgenlerin iç açıları. Bir köşeden köşegenler çizince çokgen üçgenlere ayrılır:
| Çokgen | Kenar (n) | Oluşan üçgen | İç açılar toplamı |
|---|---|---|---|
| Üçgen | 3 | 1 | 180° |
| Dörtgen | 4 | 2 | 360° |
| Beşgen | 5 | 3 | 540° |
| Altıgen | 6 | 4 | 720° |
| Yedigen | 7 | 5 | 900° |
Üçgen sayısı her zaman n − 2'dir. Her üçgen 180° getirdiğine göre:
ic acilar toplami = (n - 2) · 180°
Düzgün çokgende bütün iç açılar eşit olduğu için:
bir ic aci = (n - 2) · 180° / n bir dis aci = 360° / n (dis acilar toplami hep 360°)
Düzgün dokuzgen için:
bir dis aci = 360° : 9 = 40° bir ic aci = 180° - 40° = 140°
🧩 Örnekle anlayalım
İki öğrenci bir kitap okuma yarışmasına katılıyor. Ahmet ilk gün 30 sayfa, sonraki her gün 8 sayfa okuyor. Serra ilk gün 50 sayfa, sonraki her gün 6 sayfa okuyor. (a) Her ikisinin toplam okuduğu sayfa sayısını veren kuralları cebirsel olarak yazınız. (b) 20. günün sonunda kaçar sayfa okumuş olurlar? (c) Kaçıncı günde ikisinin toplamı eşit olur?
Çözümü göster
(a) Kuralları bulalım.
Ahmet: toplamları yazalım.
1. gun: 30 2. gun: 30 + 8 = 38 3. gun: 38 + 8 = 46 Fark = 8 -> kuralda 8n var n = 1 icin 8 · 1 = 8, terim 30 -> fark 22 Ahmet: 8n + 22
Kontrol: n = 3 → 8·3 + 22 = 24 + 22 = 46 ✓
Serra:
1. gun: 50 2. gun: 50 + 6 = 56 3. gun: 56 + 6 = 62 Fark = 6 -> kuralda 6n var n = 1 icin 6 · 1 = 6, terim 50 -> fark 44 Serra: 6n + 44
Kontrol: n = 3 → 6·3 + 44 = 18 + 44 = 62 ✓
(b) 20. günün sonu. n yerine 20 yazalım:
Ahmet: 8 · 20 + 22 = 160 + 22 = 182 sayfa Serra: 6 · 20 + 44 = 120 + 44 = 164 sayfa
→ Ahmet 182, Serra 164 sayfa okumuştur. 20. günde Ahmet öne geçmiştir.
(c) Ne zaman eşit olurlar? İki kuralı eşitleyelim:
8n + 22 = 6n + 44
Her iki taraftan 6n çıkaralım:
2n + 22 = 44
Her iki taraftan 22 çıkaralım:
2n = 22 n = 11
11. günde ikisinin toplamı eşit olur. Kontrol edelim:
Ahmet: 8 · 11 + 22 = 88 + 22 = 110 Serra: 6 · 11 + 44 = 66 + 44 = 110 ✓
11. güne kadar Serra önde, 11. günde eşit, sonrasında Ahmet öndedir.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Kural, adımlar arasındaki farkın kendisidir” eksiktir. Fark yalnızca katsayıyı verir. Sonra 1. terime bakıp sabit terimi de bulmak gerekir: 8, 11, 14, … için kural 3n değil 3n + 5'tir.
- “n yerine terimin kendisi yazılır” yanlıştır. n, adım numarasıdır (kaçıncı sıra), terim değil. 12. adım isteniyorsa n yerine 12 yazılır.
- “Kuralı bulup kontrol etmeye gerek yok” yanlıştır. Bulduğun kuralı en az iki adımda denemelisin. Yalnızca 1. adımı tutturan bir kural çoğu zaman yanlıştır.
- “Çokgenin iç açıları toplamı n · 180°'dir” yanlıştır. Bir köşeden köşegen çizince oluşan üçgen sayısı n − 2'dir, bu yüzden toplam (n − 2) · 180°'dir.
- “Düzgün çokgenin bir dış açısı kenar sayısına göre değişen bir toplamdan bulunur” karıştırılır. Dış açılar toplamı her çokgende 360°'dir; düzgün çokgenin bir dış açısı 360° : n'dir.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.
📚 "İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler" ünitesinin konuları
- Bilinmeyen Nicelikler
- Örüntüler
- Algoritma