← 8. Ünite: İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler

📖 Denklemler

Denklemler, 7. Sınıf Matematik dersinin 8. ünitesi "İşlemlerle Cebirsel Düşünme ve Değişimler" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 8 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 2 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.

Hemen soru çöz ↓ Konu testi (8 soru, puanlı) Ünite testi Ünitenin bütün konuları

📖 Denklemler konu anlatımı

6 dakikada okunur · 7. Sınıf Matematik

İçerisinde en az bir bilinmeyen bulunan eşitliklere denklem denir. Bir denklemde bilinmeyen değeri bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme, sonuçta elde edilen değere de denklemi sağlayan değer denir. Çözümün temeli eşitliğin korunumu ilkesidir: eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygulayarak bilinmeyeni yalnız bırakırız.

🟰 Denklem nedir, ne değildir?

Bir ifadenin denklem olması için iki şart gerekir:

İçinde en az bir bilinmeyen (değişken) bulunmalı.
Bir eşitlik olmalı, yani "=" içermeli.

İfade	Denklem mi?	Neden?
y + 3 = 6	Evet	Bilinmeyen var, eşitlik var
2x − 10	Hayır	Eşitlik yok (cebirsel ifade)
x + (x − 7) = 23	Evet	İkisi de var
18 = 21 − 3	Hayır	Bilinmeyen yok (sayı eşitliği)
2x + 2y	Hayır	Eşitlik yok
−2x − 13 = 0	Evet	İkisi de var
1 + 2 + 3 = 6	Hayır	Bilinmeyen yok
17 = 3m − 1	Evet	Bilinmeyen sağda olsa da denklemdir
−k = 5	Evet	Tek terimli de olsa denklemdir

Bir denklemde eşitliğin her iki tarafında da bilinmeyen bulunabilir:

6e + 1 = 5e - 9
3(x + 5) = 4x - 12

Bunlar da denklemdir.

⚖️ Eşitliğin korunumu ilkesi

Denklemi bir terazi gibi düşün: iki kefe dengede. Dengeyi bozmamak için bir kefeye yaptığını diğerine de yapmalısın.

Eşitliğin korunumu ilkesine göre:

Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile toplanabilir.
Eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir.
Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile (0 hariç) çarpılabilir ya da aynı sayıya bölünebilir.

Örnek:

x - 15 = 12

x'i yalnız bırakmak için her iki tarafa 15 ekleriz:

x - 15 + 15 = 12 + 15
        x + 0 = 27
            x = 27

Başka örnek:

2x - 7 = 11

Her iki tarafa 7 ekle:

2x - 7 + 7 = 11 + 7
        2x = 18

Her iki tarafı 2'ye böl:

2x : 2 = 18 : 2
     x = 9

Kontrol: 2 · 9 − 7 = 18 − 7 = 11 ✓ → x = 9, denklemi sağlayan değerdir.

Kısa yol: eşitliğin korunumu ilkesi, bilinmeyenin yanındaki terimleri ters işlemle diğer tarafa aktarmakla aynı anlama gelir. Toplama → çıkarma, çarpma → bölme olarak geçer. Bu kuralın doğal bir sonucudur ve işlem kolaylığı sağlar — ama arkasındaki mantık hep aynı ilkedir.

🔀 İki tarafta da bilinmeyen varsa

Eşitliğin her iki tarafında bilinmeyen bulunan denklemleri çözerken, bilinmeyen içeren terimler eşitliğin bir tarafına, sabit terimler diğer tarafına aktarılır.

9 + 4x = 24 - x

Her iki tarafa x ekleyelim (sağdaki −x'i yok etmek için):

9 + 4x + x = 24 - x + x
    9 + 5x = 24

Her iki taraftan 9 çıkaralım:

9 + 5x - 9 = 24 - 9
        5x = 15

Her iki tarafı 5'e bölelim:

 x = 3

Kontrol: 9 + 4·3 = 21 ve 24 − 3 = 21 ✓

Parantezli denklemlerde önce sadeleştir. Denklemlerin çözüm sürecinde, eşitliğin her iki tarafındaki ifadelerin kendi içinde en sade hâline getirilmesi (varsa dağılma özelliğinin uygulanması ve benzer terimler arasında işlemlerin yapılması) çözümü kolaylaştırır.

2(x + 1) + 3(x - 1) = 34

Dağılma özelliği:

2x + 2 + 3x - 3 = 34

Benzer terimleri topla:

5x - 1 = 34
   5x = 35
    x = 7

Kontrol: 2(7+1) + 3(7−1) = 16 + 18 = 34 ✓

Farklı stratejiler aynı sonuca götürür, yeter ki her adımda eşitliğin korunumu ilkesine uyulsun.

📝 Problemden denklem kurmak

Denklem çözmekten daha zor olan, problemi denkleme çevirmektir. Yöntem:

1. Bilinmeyene bir harf ver (genellikle en kucuk nicelige).
2. Diger nicelikleri O HARF cinsinden yaz.
3. Problemdeki "esittir" ifadesini bul, iki tarafi yaz.
4. Denklemi coz.
5. Cevabin problem icin mantikli olup olmadigina bak.

Problem	Denklem
Bir kişi her gün önceki günden 100 m fazla yürüyor, 3 günde toplam 7650 m	x + (x+100) + (x+200) = 7650
Gece sıcaklığı gündüzden 7 °C azalarak −5 °C olmuş	x − 7 = −5
İkinci gün gelen ziyaretçi ilk günden 40 fazla, toplam 1500 kişi	x + (x+40) = 1500
Roman sayısı hikâyenin 2 katı, şiir romandan 15 eksik, toplam 315	x + 2x + (2x−15) = 315

Birinci nicelik hangisi olmalı? Genellikle diğerlerinin ona göre tanımlandığı nicelik. "Roman, hikâyenin 2 katı" deniyorsa bilinmeyeni hikâye sayısına vermek işi kolaylaştırır.

Dört gün örneği: her gün önceki günden 3 fazla kelime öğrenen biri 4 günde 54 kelime öğrendiyse:

1. gun: a
2. gun: a + 3
3. gun: a + 6
4. gun: a + 9

a + (a+3) + (a+6) + (a+9) = 54
4a + 18 = 54
4a = 36
 a = 9

İlk gün 9 kelime öğrenmiştir. (Günler: 9, 12, 15, 18 → toplam 54 ✓)

Aynı problemi son günden de kurabilirsin. Dördüncü günü b dersen: b−9, b−6, b−3, b olur ve 4b − 18 = 54 → b = 18. İlk gün yine 18 − 9 = 9 çıkar.

🧩 Örnekle anlayalım

Bir etkinlikte portakal suyu büyük ve küçük bardaklarda ikram edilmiştir. Büyük bardakların hacmi, küçük bardakların hacminin iki katından 100 mL azdır. Etkinlikte 20 küçük ve 12 büyük bardak tüketilmiştir ve küçük bardaklarla tüketilen toplam miktar ile büyük bardaklarla tüketilen toplam miktar eşittir. Küçük bardağın hacmi kaç mL'dir?

Çözümü göster

1. adım — bilinmeyeni belirle. Büyük bardak, küçüğe göre tanımlanmış; o hâlde küçük bardağa x diyelim.

kucuk bardak = x mL

2. adım — büyük bardağı x cinsinden yaz. "Küçüğün iki katından 100 mL az":

buyuk bardak = 2x - 100 mL

3. adım — toplam miktarları yaz.

20 kucuk bardakla tuketilen : 20 · x = 20x
12 buyuk bardakla tuketilen : 12 · (2x - 100)

4. adım — "eşittir" ifadesinden denklemi kur.

20x = 12 · (2x - 100)

5. adım — çöz. Sağ tarafta dağılma özelliğini uygula:

20x = 24x - 1200

Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım — her iki taraftan 24x çıkaralım:

20x - 24x = 24x - 1200 - 24x
     -4x = -1200

Her iki tarafı −4'e bölelim:

x = -1200 : (-4)
x = 300

6. adım — kontrol et.

kucuk bardak = 300 mL
buyuk bardak = 2 · 300 - 100 = 500 mL

20 kucuk : 20 · 300 = 6000 mL
12 buyuk : 12 · 500 = 6000 mL

İkisi eşit ✓

7. adım — mantıklı mı? 300 mL ve 500 mL, bardak hacmi için makul değerlerdir.

Cevap: Küçük bardağın hacmi 300 mL'dir.

⚠️ Sık yapılan hatalar

“2x − 10 bir denklemdir” yanlıştır. Denklem olmak için eşitlik (=) şarttır. 2x − 10 bir cebirsel ifadedir; 2x − 10 = 0 ise denklemdir.
“18 = 21 − 3 bir denklemdir” yanlıştır. Eşitlik var ama bilinmeyen yok. Denklemde en az bir bilinmeyen bulunmalıdır.
“Terimi diğer tarafa aynı işaretiyle geçirmek.” Terim ters işlemle aktarılır: + ise −, × ise ÷ olur. 2x − 7 = 11 denkleminde −7 sağa +7 olarak geçer.
“Bir tarafa işlem uygulayıp diğerine uygulamamak.” Eşitliğin korunumu ilkesi gereği her iki tarafa aynı işlem uygulanmalıdır; yoksa eşitlik bozulur.
“Parantezi dağıtmadan terim taşımak.” 12(2x − 100) ifadesinde önce dağılma özelliği uygulanmalı: 24x − 1200. Parantez içindeki tek terimi taşımak yanlıştır.
“Eşitliğin her iki tarafını 0'a bölmek.” Sıfıra bölme tanımsızdır; eşitliğin korunumu ilkesi "0 hariç" der.
“Sonucu kontrol etmemek.” Bulduğun değeri denkleme geri koyup iki tarafın eşit olup olmadığına bakmak, hataları hemen yakalar.

💡 Aklında kalsın: Denklem: içinde en az bir bilinmeyen bulunan eşitlik. Eşitliğin korunumu ilkesi: her iki tarafa aynı sayı eklenebilir, çıkarılabilir, aynı sayıyla çarpılabilir ya da (0 hariç) bölünebilir. Bu ilke, terimi ters işlemle diğer tarafa aktarmakla aynıdır. İki tarafta da bilinmeyen varsa bilinmeyenler bir tarafa, sabitler diğer tarafa toplanır. Parantezler önce dağılma özelliğiyle açılır, benzer terimler toplanır. Bulunan değer denkleme geri konup kontrol edilir.

Anladım, konu testini çöz ►

✏️ Denklemler soruları

Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.

1. Bir sayının 3 katının 8 fazlası 35 ediyor. Bu sayı kaçtır?

Cevabı ve çözümü göster

Cevap: 9

Sayı x olsun: 3x + 8 = 35 → 3x = 27 → x = 9.

2. Bir sayının 5 katının 14 fazlası 59 ediyor. Bu sayı kaçtır?