📖 Ardışık Ötelemelerin ve Yansımaların Görüntüsü
Ardışık Ötelemelerin ve Yansımaların Görüntüsü, 8. Sınıf Matematik dersinin 6. ünitesi "Dönüşüm Geometrisi / Geometrik Cisimler" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 3 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Ardışık Ötelemelerin ve Yansımaların Görüntüsü konu anlatımı
6 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Bir şekle üst üste birkaç dönüşüm uygulayabiliriz. Ardışık ötelemelerde yatay ve düşey kaymalar toplanır; sonuç tek bir ötelemeye eşittir. Ardışık yansımalarda ise sıra önemlidir: önce bir eksene, sonra diğerine yansıtmak şekli başlangıç noktasına göre karşı köşeye taşır. Her iki dönüşüm de şeklin boyutunu ve açılarını değiştirmez.
➡️ Ötelemenin koordinatlardaki karşılığı
Öteleme, şekli kaydırmaktır. Koordinat sisteminde her köşenin koordinatlarına sayı ekleyerek ya da çıkararak yapılır:
| Hareket | Koordinatlarda ne değişir? |
|---|---|
| Sağa a birim | apsise (x) +a eklenir |
| Sola a birim | apsisten (x) a çıkarılır |
| Yukarıya b birim | ordinata (y) +b eklenir |
| Aşağıya b birim | ordinattan (y) b çıkarılır |
A(x, y) noktasinin ötelenmis hali: sağa a, yukariya b -> A'(x + a, y + b) sola a, asagiya b -> A'(x - a, y - b)
Örnek: A(2, 3) noktası 4 birim sağa, 5 birim yukarıya ötelenirse:
A'(2 + 4, 3 + 5) = A'(6, 8)
Şeklin tamamı için: her köşeye aynı işlem uygulanır, sonra yeni noktalar aynı sırayla birleştirilir. Bu yüzden öteleme şeklin boyutunu ve yönünü değiştirmez; şekil olduğu gibi kayar.
🔄 Ardışık ötelemeler toplanır
İki ötelemeyi üst üste uyguladığımızda, yatay kaymalar kendi arasında, düşey kaymalar kendi arasında toplanır. Sonuç tek bir ötelemeye eşdeğerdir.
Örnek: Bir şekil önce 8 birim yukarıya, 6 birim sağa, sonra 5 birim aşağıya, 2 birim sağa ötelenirse son görüntü başlangıca göre nerededir?
Yatay hareketleri toplayalım (sağ pozitif):
+6 (saga) + 2 (saga) = +8 -> 8 birim SAGA
Düşey hareketleri toplayalım (yukarı pozitif):
+8 (yukariya) - 5 (asagiya) = +3 -> 3 birim YUKARIYA
→ Son görüntü, şeklin başlangıçtaki konumunun 3 birim yukarısının 8 birim sağındadır.
Adim adim: Tek seferde: sekil sekil | 8 yukari, 6 saga | v | 3 yukari, 8 saga 1.goruntu | | 5 asagi, 2 saga v v 2.goruntu 2.goruntu
Önemli sonuç: ardışık iki öteleme, tek bir ötelemeye eşittir ve sıra değiştirilebilir (önce hangisini yaparsan yap, sonuç aynıdır). Ötelemede toplama yaptığımız için toplamanın değişme özelliği burada da işler.
Birbirini götüren ötelemeler: 5 birim sağa sonra 5 birim sola ötelemek şekli başladığı yere döndürür:
+5 - 5 = 0 -> sekil yerinde kalir
🪞 Yansımanın koordinatlardaki karşılığı
Yansımada bir eksene göre simetrik görüntü alınır. Koordinatlarda işaret değişimi olur:
| Yansıma ekseni | Koordinatlarda ne olur? |
|---|---|
| y ekseni (düşey) | apsis (x) işaret değiştirir, ordinat aynı kalır |
| x ekseni (yatay) | ordinat (y) işaret değiştirir, apsis aynı kalır |
A(x, y) noktasinin yansimasi: y eksenine gore -> A'(-x, y) x eksenine gore -> A'( x, -y)
Örnek: A(3, 5) noktası için:
y eksenine gore: A'(-3, 5) (soluna gecti) x eksenine gore: A'(3, -5) (altina gecti)
Hatırlatma: simetri doğrusu (eksen), karşılıklı simetrik noktaları birleştiren doğru parçalarını dik ortalar ve şekil ile görüntüsü eştir. Yansıma boyutu değiştirmez, yalnızca yönü ters çevirir.
🔃 Ardışık yansımalar
Örnek: Bir şekil önce y eksenine, sonra oluşan görüntü x eksenine yansıtılırsa son görüntünün koordinatları nasıl olur?
A(x, y) noktasını izleyelim:
Baslangic : A( x, y) y eksenine gore : A'(-x, y) x eksenine gore : A''(-x, -y)
Sonuç: her iki koordinat da işaret değiştirdi.
A(2, 3) için:
A(2, 3) -> A'(-2, 3) -> A''(-2, -3)
Şekil, başlangıçta 1. bölgedeyse son görüntüsü 3. bölgeye geçer — yani başlangıç noktasına göre karşı köşeye gider.
y 2. | 1. <- sekil burada bolge | bolge --------+-------- x 3. | 4. bolge | bolge ^ son goruntu burada
Sıranın etkisi. Bu örnekte önce x sonra y eksenine yansıtsak da aynı sonuca varırız:
A(x, y) -> x eksenine: A'(x, -y) -> y eksenine: A''(-x, -y) ✓
Ama eksenler birbirine paralelse sıra önemlidir ve farklı sonuç çıkar. x ve y eksenleri birbirine dik olduğu için burada sıra fark etmez.
Ardışık yansımaların toplu etkisi:
| Dönüşüm | Sonuç |
|---|---|
| Aynı eksene iki kez yansıma | Şekil başladığı yere döner |
| Dik iki eksene yansıma | Başlangıç noktasına göre karşı köşeye gider |
| Paralel iki doğruya yansıma | Sonuç bir ötelemeye eşittir |
Son satır ilginçtir: paralel iki doğruya yansıtmak, şekli doğrular arasındaki uzaklığın iki katı kadar öteler.
🧩 Örnekle anlayalım
Koordinat sisteminde köşeleri A(1, 2), B(4, 2) ve C(1, 5) olan bir üçgen veriliyor. (a) Bu üçgen 3 birim sağa, 2 birim yukarıya ötelenirse yeni köşelerin koordinatları ne olur? (b) Oluşan görüntü 6 birim sola, 4 birim aşağıya ötelenirse son koordinatlar ne olur? (c) Bu iki ötelemenin yerine tek bir öteleme yapılsaydı ne olurdu? (ç) Başlangıçtaki üçgen önce y eksenine, sonra x eksenine yansıtılırsa köşe koordinatları ne olur?
Çözümü göster
(a) Birinci öteleme: 3 birim sağa, 2 birim yukarıya.
Her köşenin apsisine +3, ordinatına +2 ekleyelim:
A(1, 2) -> A'(1 + 3, 2 + 2) = A'(4, 4) B(4, 2) -> B'(4 + 3, 2 + 2) = B'(7, 4) C(1, 5) -> C'(1 + 3, 5 + 2) = C'(4, 7)
→ A'(4, 4), B'(7, 4), C'(4, 7)
(b) İkinci öteleme: 6 birim sola, 4 birim aşağıya.
Bu kez apsisten 6, ordinattan 4 çıkaralım:
A'(4, 4) -> A''(4 - 6, 4 - 4) = A''(-2, 0) B'(7, 4) -> B''(7 - 6, 4 - 4) = B''(1, 0) C'(4, 7) -> C''(4 - 6, 7 - 4) = C''(-2, 3)
→ A''(−2, 0), B''(1, 0), C''(−2, 3)
(c) Tek bir öteleme. Yatay ve düşey hareketleri ayrı ayrı toplayalım:
Yatay : +3 (saga) - 6 (sola) = -3 -> 3 birim SOLA Dusey : +2 (yukari) - 4 (asagi) = -2 -> 2 birim ASAGIYA
→ 3 birim sola, 2 birim aşağıya tek bir ötelemeyle aynı sonuca varılır.
Kontrol edelim:
A(1, 2) -> (1 - 3, 2 - 2) = (-2, 0) ✓ B(4, 2) -> (4 - 3, 2 - 2) = ( 1, 0) ✓ C(1, 5) -> (1 - 3, 5 - 2) = (-2, 3) ✓
Üçü de (b) maddesindeki sonuçla aynı ✓
(ç) Ardışık yansıma: önce y, sonra x ekseni.
1. adım — y eksenine yansıma. Apsis işaret değiştirir:
A(1, 2) -> A'(-1, 2) B(4, 2) -> B'(-4, 2) C(1, 5) -> C'(-1, 5)
2. adım — x eksenine yansıma. Ordinat işaret değiştirir:
A'(-1, 2) -> A''(-1, -2) B'(-4, 2) -> B''(-4, -2) C'(-1, 5) -> C''(-1, -5)
→ A''(−1, −2), B''(−4, −2), C''(−1, −5)
Gözlem: başlangıç koordinatları (1, 2), (4, 2), (1, 5) idi; son koordinatlar (−1, −2), (−4, −2), (−1, −5) oldu. İki koordinat da işaret değiştirdi.
Üçgen 1. bölgeden 3. bölgeye geçti.
Kenar uzunlukları değişti mi?
Baslangicta: |AB| = 4 - 1 = 3 birim Sonunda : |A''B''| = -1 - (-4) = 3 birim ✓
Değişmedi — yansıma şeklin boyutunu değiştirmez, şekil ile görüntüsü eştir.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Sola öteleme apsise ekleme yapar” yanlıştır. Sağa öteleme apsise ekler, sola öteleme apsisten çıkarır. Aynı biçimde yukarı ekler, aşağı çıkarır.
- “Ardışık ötelemelerde kaymalar çarpılır” yanlıştır. Yatay kaymalar kendi arasında, düşey kaymalar kendi arasında toplanır (yön işaretiyle birlikte).
- “y eksenine göre yansımada ordinat işaret değiştirir” yanlıştır. y eksenine göre apsis (x), x eksenine göre ordinat (y) işaret değiştirir. Eksenin adı ile değişen koordinat ters düşer.
- “Öteleme ya da yansıma şeklin boyutunu değiştirir” yanlıştır. İki dönüşüm de şeklin kenar uzunluklarını ve açılarını korur; şekil ile görüntüsü eştir.
- “Aynı eksene iki kez yansıtmak şekli başka yere taşır” yanlıştır. Aynı eksene iki kez yansıtmak şekli başladığı yere döndürür.
- “Ardışık dönüşümlerde sıra hiç önemli değildir” eksiktir. Ötelemelerde sıra fark etmez; yansımalarda eksenler dik ise fark etmez, ama paralel doğrulara yansımada sıra sonucu etkiler.
✏️ Ardışık Ötelemelerin ve Yansımaların Görüntüsü soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. A(−2, −4) noktası önce x eksenine göre yansıtılıyor, sonra 3 birim sağa öteleniyor. Son görüntü hangisidir?
Yansıma: A′(−2, 4).
Öteleme: x + 3 → A″(1, 4).
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: (1, 4)
Yansıma: A′(−2, 4).
Öteleme: x + 3 → A″(1, 4).
2. A(−2, 2) noktası önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra 3 birim sağa öteleniyor. Son görüntü hangisidir?
Yansıma: A′(2, 2).
Öteleme: x + 3 → A″(5, 2).
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: (5, 2)
Yansıma: A′(2, 2).
Öteleme: x + 3 → A″(5, 2).
3. A(−2, −3) noktası önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra 3 birim sağa öteleniyor. Son görüntü hangisidir?
Yansıma: A′(2, −3).
Öteleme: x + 3 → A″(5, −3).
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: (5, −3)
Yansıma: A′(2, −3).
Öteleme: x + 3 → A″(5, −3).
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.
📚 "Dönüşüm Geometrisi / Geometrik Cisimler" ünitesinin konuları
- Öteleme
- Yansıma
- Ardışık Ötelemelerin ve Yansımaların Görüntüsü
- Dik Prizmalar
- Dik Dairesel Silindir
- Dik Dairesel Silindirin Hacmi
- Dik Piramit
- Dik Koni