📖 Türev Yardımıyla Grafik Çizimi

📐 Üç adımlı yöntem

1) Tanım kümesini bul. Bir kısıtlama belirtilmemişse polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesi R'dir. Kapalı bir aralık verilmişse ([-2, 3] gibi), önce uç noktalardaki değerler hesaplanır.

2) Eksenleri kestiği noktaları bul.

• y ekseni: x = 0 konularak f(0) bulunur.
• x ekseni: y = 0, yani f(x) = 0 denklemi çözülür.
• Önemli kural: f(x) = 0 denkleminde çift katlı kök varsa grafik o noktada x eksenini kesmez, x eksenine teğet olur.
• f(x) = 0 denkleminin gerçek kökü yoksa grafik x eksenini hiç kesmez.

3) Ekstremum noktalarını bul. Türev alınır, f′(x) = 0 denkleminin kökleri bulunur ve türevin işaret tablosu yapılır.

• f′(x) > 0 olan aralıkta fonksiyon artan
• f′(x) < 0 olan aralıkta fonksiyon azalan
• Türev +'dan −'ye geçiyorsa o nokta yerel maksimum
• Türev −'dan +'ya geçiyorsa o nokta yerel minimum
• Türev işaret değiştirmiyorsa o nokta ekstremum değildir

🧮 Örnek 1: f(x) = x³ + x²

Tanım kümesi: R

Eksen kesimleri:

• x = 0 → f(0) = 0 → grafik y eksenini (0, 0)'da keser.
• y = 0 → x³ + x² = 0 → x²(x + 1) = 0 → x = 0 (çift katlı kök) veya x = −1
• Grafik x eksenini (−1, 0)'da keser, (0, 0)'da x eksenine teğettir (çift katlı kök olduğu için).

Türev: f′(x) = 3x² + 2x = x(3x + 2)

f′(x) = 0 → x = 0 veya x = −2/3

İşaret tablosu:

Sonuç:

• Artan: (−∞, −2/3] ve [0, +∞)
• Azalan: [−2/3, 0]
• x = −2/3'te yerel maksimum: f(−2/3) = 4/27 → ekstremum noktası (−2/3, 4/27)
• x = 0'da yerel minimum: f(0) = 0 → ekstremum noktası (0, 0)

Önce eksen kesimleri ve teğetlik noktası işaretlenir, sonra ekstremum noktaları konur, artan-azalan bilgisine göre eğri birleştirilir.

🧮 Örnek 2: f(x) = x⁴ − 2x³ + x² + 1

Tanım kümesi: R

Eksen kesimleri:

• x = 0 → f(0) = 1 → y eksenini (0, 1)'de keser.
• y = 0 → x⁴ − 2x³ + x² + 1 = 0 → x²(x − 1)² + 1 = 0

Burada x²(x − 1)² ifadesi her zaman ≥ 0 olduğundan, buna 1 eklenince sonuç hiçbir zaman 0 olamaz. Çözüm kümesi boştur, yani grafik x eksenini kesmez ve tamamı x ekseninin üstündedir.

Türev: f′(x) = 4x³ − 6x² + 2x = 2x(2x² − 3x + 1) = 2x(2x − 1)(x − 1)

f′(x) = 0 → x = 0, x = 1/2, x = 1

İşaret tablosu:

Sonuç:

• Azalan: (−∞, 0] ve [1/2, 1]
• Artan: [0, 1/2] ve [1, +∞)
• x = 0 → yerel minimum, f(0) = 1 → (0, 1)
• x = 1/2 → yerel maksimum, f(1/2) = 17/16 → (1/2, 17/16)
• x = 1 → yerel minimum, f(1) = 1 → (1, 1)

Dikkat: Dördüncü dereceden bir fonksiyonda üç ekstremum noktası olabilir; türev üçüncü dereceden olduğu için en çok üç kök verir.

🧮 Örnek 3: Kapalı aralıkta çizim

f: [−2, 3] → R, f(x) = −(x − 2)(x + 1)²

Tanım kümesi verildiği için önce uç noktalar hesaplanır:

• f(−2) = −(−2 − 2)(−2 + 1)² = −(−4)(1) = 4
• f(3) = −(3 − 2)(3 + 1)² = −(1)(16) = −16

Eksen kesimleri:

• x = 0 → f(0) = −(−2)(1) = 2 → y eksenini (0, 2)'de keser.
• y = 0 → x = 2 veya x = −1 (çift katlı kök)
• Grafik x eksenini (2, 0)'da keser, (−1, 0)'da teğettir.

Açarak türev alalım: f(x) = −x³ + 3x + 2 → f′(x) = −3x² + 3

f′(x) = 0 → −3(x² − 1) = 0 → x = −1 veya x = 1

İşaret tablosu:

Sonuç:

• Azalan: [−2, −1] ve [1, 3]
• Artan: [−1, 1]
• x = −1 → yerel minimum, f(−1) = 0 → (−1, 0)
• x = 1 → yerel maksimum, f(1) = 4 → (1, 4)

Kapalı aralıkta grafik (−2, 4) noktasından başlar ve (3, −16) noktasında biter; bu uçlar çizilmezse grafik eksik olur.

✅ Kontrol listesi

Grafik çizmeye başlamadan önce elinde şu bilgilerin olması gerekir:

1. Tanım kümesi (ve kapalıysa uç nokta değerleri)
2. y ekseni kesim noktası → f(0)
3. x ekseni kesim noktaları ve hangisinde teğet olduğu
4. f′(x) = 0 köklerinin tümü
5. İşaret tablosu → artan/azalan aralıklar
6. Her kritik noktanın yerel maksimum mu minimum mu olduğu ve o noktadaki fonksiyon değeri

Çizim sırası: eksen kesimleri → teğetlik noktaları → ekstremum noktaları → artan-azalan bilgisiyle eğriyi birleştir.