12. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı

Örnek yazılı · MEB konu-soru dağılım tablosundaki 8. senaryoya göre (7 soru) · Toplam 100 puan

Ad Soyad:Sınıf:No:Puan:

1.a) Aşağıdaki eşitlikleri istenen biçimde yazınız. (6 puan)
1) 2⁵ = 32 eşitliğini logaritma ile yazınız.
2) log₅(1/25) = −2 eşitliğini üstel biçimde yazınız.
3) 3ˣ = 20 eşitliğinde x'i logaritma ile ifade ediniz.

b) f(x) = log₃(x − 1) + 2 fonksiyonu veriliyor. (9 puan)
1) Fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulunuz. (2 puan)
2) f(10) değerini hesaplayınız. (2 puan)
3) f fonksiyonunun tersini, f⁻¹(x)'i bulunuz. (5 puan)(15 puan)

2.a) Aşağıdaki değerleri hesaplayınız. (6 puan)
log 1000 ln e⁵ log 0,01 e^(ln 7)

b) log 2 ≈ 0,301 olduğuna göre log 8 ve log 5 değerlerini yaklaşık olarak bulunuz. (5 puan)

c) Bir çözeltinin asitliği pH = −log[H⁺] formülüyle hesaplanır. Hidrojen iyonu derişimi [H⁺] = 10⁻³ mol/L olan bir çözeltinin pH değeri kaçtır? (4 puan)(15 puan)

3.Logaritmanın özelliklerini kullanarak aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. Kullandığınız özelliği belirtiniz.

a) log₂ 12 + log₂ (8/3) (3 puan)
b) log₃ 54 − log₃ 2 (3 puan)
c) 2 log 5 + log 4 (3 puan)
d) log₄ 8 (3 puan)
e) log₂ 3 · log₃ 16 (3 puan)(15 puan)

4.Aşağıdaki denklem ve eşitsizlikleri çözünüz.

a) 2^(x + 1) = 32 (3 puan)
b) log₃(2x − 1) = 2 (3 puan)
c) log₂ x + log₂ (x − 2) = 3 (5 puan)
d) (1/3)ˣ > 9 (4 puan)(15 puan)

5.Bir besiyerindeki bakteri sayısı t saat sonra N(t) = 500 · 2^(t/3) modeliyle hesaplanmaktadır.

a) Başlangıçtaki bakteri sayısı kaçtır? (2 puan)
b) Bakteri sayısı kaç saatte bir iki katına çıkar? Modelden gerekçelendiriniz. (3 puan)
c) 12 saat sonra kaç bakteri olur? (4 puan)
d) Bakteri sayısı kaç saat sonra 64 000 olur? (6 puan)(15 puan)

6.a) Genel terimi aₙ = 3n − 1 olan (aₙ) dizisinin ilk beş terimini yazınız. Bu dizinin kaçıncı terimi 59'dur? (5 puan)
b) a₁ = 2 ve aₙ₊₁ = 2aₙ − 1 (n ≥ 1) indirgeme bağıntısıyla tanımlanan dizinin ilk beş terimini yazınız. (5 puan)(10 puan)

7.a) Bir konser salonunda ilk sırada 18 koltuk vardır ve her sıra bir öncekinden 3 koltuk fazladır. (8 puan)
1) Sıralardaki koltuk sayılarının oluşturduğu dizinin genel terimini yazınız. (3 puan)
2) 15. sırada kaç koltuk vardır? (2 puan)
3) Kaçıncı sırada 48 koltuk vardır? (3 puan)

b) 128 cm yükseklikten bırakılan bir top, yere her çarpışında bir önceki yüksekliğin 3/4'ü kadar yükseğe sıçramaktadır. Topun ilk dört sıçrayışta çıktığı yükseklikleri yazınız ve bu dizinin türünü belirtiniz. (7 puan)(15 puan)

oynaogren.tr · MEB ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre hazırlanmış özgün örnek sorulardır; okulunuzun sınavı farklı olabilir.

Cevap anahtarı

1. a)
1) log₂ 32 = 5
2) 5⁻² = 1/25
3) x = log₃ 20

b)
1) Logaritmanın içi pozitif olmalı: x − 1 > 0 → x > 1. Tanım kümesi: (1, ∞)
2) f(10) = log₃ 9 + 2 = 2 + 2 = 4
3) y = log₃(x − 1) + 2 → y − 2 = log₃(x − 1) → x − 1 = 3^(y − 2) → x = 3^(y − 2) + 1
x ile y'nin yeri değiştirilir: f⁻¹(x) = 3^(x − 2) + 1
(Kontrol: f⁻¹(4) = 3² + 1 = 10 ✓)

Puanlama: a) 6 puan (her dönüşüm 2 puan); b) 1) 2 puan, 2) 2 puan, 3) 5 puan (logaritmayı yalnız bırakma 1, üstel biçime geçiş 2, x'i yalnız bırakma 1, x ile y'nin yer değiştirmesi 1).

2. a) log 1000 = log 10³ = 3
ln e⁵ = 5
log 0,01 = log 10⁻² = −2
e^(ln 7) = 7

b) log 8 = log 2³ = 3 · log 2 ≈ 3 · 0,301 = 0,903
log 5 = log(10/2) = log 10 − log 2 ≈ 1 − 0,301 = 0,699

c) pH = −log(10⁻³) = −(−3) = 3

Puanlama: a) 6 puan (her değer 1,5 puan); b) 5 puan (log 8 için kuvvet kuralı ve sonuç 2,5; log 5 için 10/2 yazımı ve sonuç 2,5); c) 4 puan (formüle yerleştirme 2, sonuç 2).

3. a) Toplama → çarpım: log₂ (12 · 8/3) = log₂ 32 = 5

b) Çıkarma → bölüm: log₃ (54/2) = log₃ 27 = 3

c) Katsayı üsse geçer: 2 log 5 = log 25. log 25 + log 4 = log 100 = 2

d) 4 = 2², 8 = 2³: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 (taban değiştirme) → 3/2

e) Taban değiştirme (zincir kuralı): log₂ 3 · log₃ 16 = log₂ 16 = 4

Puanlama: Her madde 3 puan (doğru özelliğin uygulanması 2, sonuç 1).

4. a) 32 = 2⁵ → x + 1 = 5 → x = 4

b) 2x − 1 = 3² = 9 → 2x = 10 → x = 5 (2 · 5 − 1 = 9 > 0, uygun)

c) Tanım şartı: x > 0 ve x − 2 > 0 → x > 2
log₂ [x(x − 2)] = 3 → x(x − 2) = 2³ = 8 → x² − 2x − 8 = 0 → (x − 4)(x + 2) = 0
x = 4 veya x = −2. x > 2 şartından x = 4 (x = −2 tanım şartını sağlamaz).

d) 9 = 3², (1/3)ˣ = 3⁻ˣ → 3⁻ˣ > 3²
Taban 3 > 1 olduğundan yön korunur: −x > 2 → x < −2. Çözüm kümesi: (−∞, −2)

Puanlama: a) 3 puan; b) 3 puan; c) 5 puan (tanım şartı 1, çarpım kuralı 1, ikinci derece denklemin çözümü 2, kökün elenmesi 1); d) 4 puan (aynı tabana yazma 2, eşitsizlik yönü ve sonuç 2).

5. a) N(0) = 500 · 2⁰ = 500

b) t her 3 arttığında üs 1 artar, 2 ile çarpılır: 3 saatte bir iki katına çıkar.

c) N(12) = 500 · 2^(12/3) = 500 · 2⁴ = 500 · 16 = 8000

d) 500 · 2^(t/3) = 64 000 → 2^(t/3) = 128 = 2⁷ → t/3 = 7 → t = 21 saat
(Logaritma ile: t/3 = log₂ 128 = 7.)

Puanlama: a) 2 puan; b) 3 puan (sonuç 1, gerekçe 2); c) 4 puan (yerine koyma 2, sonuç 2); d) 6 puan (denklemi kurma 2, 128'i bulma 2, t'yi bulma 2).

6. a) a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 8, a₄ = 11, a₅ = 14 → İlk beş terim: 2, 5, 8, 11, 14
3n − 1 = 59 → 3n = 60 → n = 20; 59 dizinin 20. terimidir.

b) a₁ = 2
a₂ = 2 · 2 − 1 = 3
a₃ = 2 · 3 − 1 = 5
a₄ = 2 · 5 − 1 = 9
a₅ = 2 · 9 − 1 = 17
İlk beş terim: 2, 3, 5, 9, 17

Puanlama: a) 5 puan (ilk beş terim 2,5; n = 20 için 2,5); b) 5 puan (her terim 1 puan).

7. a)
1) Ortak farkı d = 3, ilk terimi a₁ = 18 olan aritmetik dizi: aₙ = 18 + (n − 1) · 3 → aₙ = 3n + 15
2) a₁₅ = 3 · 15 + 15 = 60 koltuk
3) 3n + 15 = 48 → 3n = 33 → n = 11; 11. sırada 48 koltuk vardır.

b) 1. sıçrayış: 128 · 3/4 = 96 cm
2. sıçrayış: 96 · 3/4 = 72 cm
3. sıçrayış: 72 · 3/4 = 54 cm
4. sıçrayış: 54 · 3/4 = 40,5 cm
Her terim bir öncekinin 3/4'ü olduğundan ortak çarpanı r = 3/4 olan geometrik dizidir. (Genel terim: bₙ = 128 · (3/4)ⁿ)

Puanlama: a) 1) 3 puan (aritmetik dizi tanıma 1, genel terim 2); 2) 2 puan; 3) 3 puan (denklem 2, sonuç 1). b) 7 puan (her yükseklik 1 puan, geometrik dizi ve ortak çarpan 3 puan).