📖 Teorik Olasılık

🎲 Örnek uzay ve olay

• Örnek uzay: bir deneyin sonucunda elde edilebilecek çıktıların tamamı.
• Olay: bir deney her tekrarlandığında örnek uzaydan elde edilebilecek olası durumlar.

Bir madenî para atma deneyinde:

Ornek uzay = {yazi, tura}      ->  2 cikti
Olay       = "yazi gelmesi"    ->  1 cikti

Bir zar atma deneyinde:

Ornek uzay = {1, 2, 3, 4, 5, 6}   ->  6 cikti
Olay       = "cift sayi gelmesi"   ->  {2, 4, 6}, 3 cikti

Örnek uzayı karmaşık durumlarda ağaç şeması ile yazmak işi kolaylaştırır. Örneğin kan grupları için "AB grubuna kim bağış yapabilir?" sorusunda, tablodan bakarak A, B, AB ve 0 gruplarının hepsinin AB'ye bağış yapabildiğini görürüz:

AB hastasina bagis yapabilenler:
  A  ->  evet
  B  ->  evet
  AB ->  evet
  0  ->  evet
Ornek uzay: {A, B, AB, 0}  ->  4 cikti

🧮 Teorik olasılık formülü

Bir olayın olasılığı, olaya ait çıktıların sayısının örnek uzaydaki tüm olası çıktıların sayısına oranıdır:

                 olaya ait cikti sayisi
P(olay) = -------------------------------
           ornek uzaydaki cikti sayisi

Bu hesap iki şart altında geçerlidir:

• Örnek uzay bilinmelidir (bütün çıktıları sayabilmeliyiz).
• Bütün olası sonuçların her biri eşit çıktı sayısına sahip olmalıdır (hiçbiri diğerinden daha beklenir olmamalı).

Bu şartlar sağlanırsa olasılık kişinin yargı ve denemelerinden bağımsız olarak hesaplanabilir. İşte bu yüzden teorik olasılık denir — bir kez bile deney yapmadan bulunur.

Örnek: Bir torbaya "BİLGE" sözcüğünün harfleri ayrı kartlara yazılıp atılıyor. Örnek uzay:

{B, I, L, G, E}  ->  5 cikti

🔁 Göreli sıklık ile teorik olasılık

Göreli sıklık, deneyi gerçekten yapıp sonuçları sayarak bulunan orandır:

                  olayin gerceklesme sayisi
goreli siklik = ---------------------------
                    deneyin tekrar sayisi

Bir parayı farklı sayıda atarsak ne olur?

Çok önemli bir sonuç: deneyin tekrar sayısı arttıkça göreli sıklık, teorik olasılığa yaklaşır.

30 atışta %77 gibi çok uzak bir sonuç çıkabilir, ama 10 000 atışta sonuç %50'ye oturur — tam olarak teorik olasılığın söylediği değere.

Buradan çıkan ders: az sayıda denemeyle elde edilen sonuç yanıltıcıdır. Birisi parayı 18 kez atıp 11 yazı, 7 tura aldıysa bu, paranın yazı gelmeye eğilimli olduğunu göstermez; yalnızca deneme sayısının az olduğunu gösterir.

Teorik olasılık ise değişmez: paranın iki eş yüzü olduğu bilgisinden yola çıkarak

P(yazi) = 1/2 = %50 = 0,50
P(tura) = 1/2 = %50 = 0,50

hesaplanır ve bu değer hiç deney yapılmadan bilinir.

✍️ Olasılığın üç gösterimi

Bir olasılık kesir, ondalık ve yüzde olmak üzere üç biçimde yazılabilir. Hangisini kullanacağımız soruda belirtilir.

Kesirden ondaliga : payi paydaya bol
Ondaliktan yuzdeye: virgulu iki basamak saga kaydir
Kesirden yuzdeye  : paydayi 100 yap

Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır (yüzde olarak %0 ile %100 arası). Hesabının sonucu bu aralığın dışına çıkıyorsa bir hata yapmış olursun — en sık sebep, payla paydayı ters yazmaktır.

Kontrol yöntemi: bir deneydeki bütün ayrık olayların olasılıkları toplamı 1 (ya da %100) olmak zorundadır:

P(sesli harf) + P(sessiz harf) = 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1  ✓