← 7. Ünite: Veriden Olasılığa

📖 Eşit Olasılıklı Olaylar

Eşit Olasılıklı Olaylar, 7. Sınıf Matematik dersinin 7. ünitesi "Veriden Olasılığa" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 2 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 1 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.

Hemen soru çöz ↓ Konu testi (2 soru, puanlı) Ünite testi Ünitenin bütün konuları

📖 Eşit Olasılıklı Olaylar konu anlatımı

5 dakikada okunur · 7. Sınıf Matematik

Aynı örnek uzayın içinde eşit sayıda çıktısı olan olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. En sık yapılan hata, eşit olasılıklı olmayı "%50 olmak" sanmaktır. Eşit olasılıklı olayların olasılık değerleri her zaman %50 ya da ½ değildir — iki olay 4/11 ile 4/11 de olabilir, dört olay %25 ile %25 de olabilir.

⚖️ Tanım ve örnekler

Aynı örnek uzayın içinde eşit sayıda çıktısı olan olaylara eşit olasılıklı olaylar denir.

İki şart var:

Olaylar aynı örnek uzayda olmalı.
Olayların çıktı sayıları eşit olmalı.

Bir pakette 25'er adet fındık, kuru üzüm, nohut ve leblebi varsa:

Toplam = 25 + 25 + 25 + 25 = 100

Olay	Çıktı sayısı	Kesir	Ondalık	Yüzde
Fındık olması	25	25/100 = 1/4	0,25	%25
Kuru üzüm olması	25	1/4	0,25	%25
Nohut olması	25	1/4	0,25	%25
Leblebi olması	25	1/4	0,25	%25

Dört olayın da olasılığı aynı → bunlar eşit olasılıklı olaylardır.

Gerekçe: her birinden eşit sayıda (25'er) bulunduğu için çıktı sayıları eşit.

Dikkat: bu olasılıkların hiçbiri %50 değil, %25. Yine de eşit olasılıklıdırlar.

❗ %50 olmak şart değil

Konunun en kritik noktası şudur:

Eşit olasılıklı olayların olasılık değerleri her zaman %50 ya da ½ değildir.

Üç örnekle görelim:

1) Madenî para — %50 çıkar.

Ornek uzay = {yazi, tura}  ->  2 esit cikti
P(yazi) = P(tura) = 1/2 = %50

Burada %50 çıkmasının sebebi, örnek uzayın eşit sayıda iki çıktıya sahip olmasıdır.

2) 4 kırmızı, 4 mavi, 3 sarı top — %50 çıkmaz.

Toplam = 4 + 4 + 3 = 11
P(kirmizi) = 4/11
P(mavi)    = 4/11

Kırmızı ve mavi eşit olasılıklıdır (ikisi de 4/11) ama değerleri %50 değildir (yaklaşık %36). Sarı ise farklı: 3/11.

3) 5 kırmızı, 5 sarı, 5 siyah, 5 mavi top — %25 çıkar.

Toplam = 20
P(her renk) = 5/20 = 1/4 = %25

Dört olay eşit olasılıklıdır ve değerleri %25'tir.

Özet: eşit olasılıklı olmak, olasılıkların birbirine eşit olması demektir — belirli bir sayıya eşit olması demek değildir.

🔍 Eşit olasılıklı mı, nasıl kontrol edilir?

Her olayın çıktı sayısını say, karşılaştır. Eşitse eşit olasılıklıdır.

Bir sakız makinesinde 50 kırmızı, 50 sarı, 80 pembe, 20 turuncu sakız varsa:

Toplam = 50 + 50 + 80 + 20 = 200

P(kirmizi) =  50/200 = 25/100 = %25
P(sari)    =  50/200 = 25/100 = %25
P(pembe)   =  80/200 = 40/100 = %40
P(turuncu) =  20/200 = 10/100 = %10

Sonuç: kırmızı ile sarı eşit olasılıklıdır (ikisi de %25). Pembe ve turuncu bunlardan farklıdır, yani dört olayın tamamı eşit olasılıklı değildir.

Gerekçe: kırmızı ve sarı sakızların sayısı eşit (50'şer), diğerlerinin sayısı farklı.

Doğru–yanlış alıştırmaları:

İfade	Doğru mu?	Neden?
5 elma, 5 armut olan sepette elma ve armut seçme olasılıkları eşittir	Doğru	Çıktı sayıları eşit (5 = 5)
Rastgele seçilen bir günün hafta içi olma ile hafta sonu olma olasılıkları eşittir	Yanlış	Hafta içi 5 gün, hafta sonu 2 gün (5 ≠ 2)
6 basketbol, 4 voleybol topunda basketbol olma ile olmama olasılıkları eşittir	Yanlış	6 ≠ 4

İkinci ifade güzel bir tuzaktır: "iki seçenek var" diye olasılıkları eşit sanmak yanlıştır. Seçenek sayısı değil, çıktı sayısı belirleyicidir.

🔧 Eşit olasılığı sağlamak

Bazı sorularda "olasılıkları eşitlemek için ne yapmalı?" diye sorulur. Yöntem: çıktı sayılarını eşitlemek.

Örnek: Bir sepette 5 armut, 4 elma, 3 portakal var. Üç meyvenin seçilme olasılıkları eşit olsun istiyoruz. Hangi meyvelerden en az kaç adet çıkarılmalı?

En az olan meyve: portakal (3 adet)
Hepsini 3'e indirelim:
  armut   : 5 -> 3  ->  2 adet cikarilir
  elma    : 4 -> 3  ->  1 adet cikarilir
  portakal: 3 -> 3  ->  cikarilmaz

→ 2 armut ve 1 elma çıkarılmalıdır; toplam 3 meyve.

Son durumda olasılıklar:

Toplam = 3 + 3 + 3 = 9
P(armut) = P(elma) = P(portakal) = 3/9 = 1/3

Yaklaşık %33,3 — yine %50 değil ama üçü de birbirine eşit.

Neden en az olana indiriyoruz? Çünkü meyve ekleyemiyoruz, yalnızca çıkarabiliyoruz. En az sayıdaki meyve neyse, hedef o sayı olur. Soru "eklenebilir" derse o zaman en çok olana yükseltmek de bir çözüm olur.

🧩 Örnekle anlayalım

Bir alışveriş merkezinde 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış emanet dolapları vardır. Rastgele biri seçilecektir. (a) Numarasının asal sayı olma olasılığı kaçtır? (b) Tek sayı olma olasılığı kaçtır? (c) Çift sayı olma olasılığı kaçtır? (ç) 13'ten büyük olma olasılığı kaçtır? (d) Bunlardan hangileri eşit olasılıklıdır?

Çözümü göster

Örnek uzay: {1, 2, 3, …, 20} → 20 çıktı

(a) Asal sayı olma olasılığı. 1'den 20'ye kadar asal sayıları bulalım. Asal sayı, yalnızca 1 ve kendisine bölünen, 1'den büyük sayıdır:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19   ->  8 tane
(1 asal degildir; 9 = 3·3, 15 = 3·5 asal degildir)

P(asal) = 8/20 = 2/5 = %40

(b) Tek sayı olma olasılığı.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19  ->  10 tane
P(tek) = 10/20 = 1/2 = %50

(c) Çift sayı olma olasılığı.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20  ->  10 tane
P(cift) = 10/20 = 1/2 = %50

(ç) 13'ten büyük olma olasılığı. Dikkat: "13'ten büyük" demek 13 dâhil değil:

14, 15, 16, 17, 18, 19, 20  ->  7 tane
P(13'ten buyuk) = 7/20 = %35

(d) Hangileri eşit olasılıklı?

Olasılıkları karşılaştıralım:

(a) asal         : 8/20  = %40
(b) tek          : 10/20 = %50
(c) cift         : 10/20 = %50
(c) 13'ten buyuk : 7/20  = %35

→ (b) ve (c) eşit olasılıklıdır, çünkü çıktı sayıları eşittir (10 = 10).

Gerekçe: 1'den 20'ye kadar tek ve çift sayıların sayısı birbirine eşittir (10'ar tane).

(a) ve (ç) ise bunlardan ve birbirinden farklıdır.

Ek kontrol: tek ve çift olayları birbirinin tümleyeni olduğu için toplamları 1 olmalı:

10/20 + 10/20 = 20/20 = 1  ✓

⚠️ Sık yapılan hatalar

“Eşit olasılıklı olay demek %50 demektir” yanlıştır. Eşit olasılıklı olmak, olasılıkların birbirine eşit olması demektir. Dört olay %25'er, iki olay 4/11'er de olabilir.
“İki seçenek varsa olasılıkları eşittir” yanlıştır. Haftanın bir gününün hafta içi olma olasılığı 5/7, hafta sonu olma olasılığı 2/7'dir. Seçenek sayısı değil, çıktı sayısı belirleyicidir.
“Bir olay ile tümleyeni eşit olasılıklıdır” yanlıştır. 6 basketbol ve 4 voleybol topunda basketbol olma (6/10) ile olmama (4/10) eşit değildir. Ancak çıktı sayıları eşitse eşit olurlar.
“Farklı örnek uzaylardaki olaylar da karşılaştırılır” yanlıştır. Eşit olasılıklı olaylar aynı örnek uzayda olmak zorundadır.
“13'ten büyük sayılara 13 de dâhildir” yanlıştır. "Büyük" dâhil etmez; "13 ve daha büyük" ya da "en az 13" denirse dâhil olur. Çıktı sayarken bu ayrıma dikkat edilir.
“Olasılıkları eşitlemek için istediğimiz sayıyı hedef alabiliriz” yanlıştır. Yalnızca çıkarma yapılabiliyorsa hedef, en az sayıdaki gruptur; eklenebiliyorsa en çok sayıdaki grup hedef olabilir.

💡 Aklında kalsın: Eşit olasılıklı olaylar: aynı örnek uzayda eşit sayıda çıktısı olan olaylar. Olasılık değerleri her zaman %50 ya da ½ değildir — %25'er ya da 4/11'er de olabilir. Kontrol yöntemi: her olayın çıktı sayısını say, eşitse eşit olasılıklıdır. İki seçenek olması olasılıkların eşit olduğunu göstermez (hafta içi 5/7, hafta sonu 2/7).

Anladım, konu testini çöz ►