📖 Tümleyen Olay
Tümleyen Olay, 7. Sınıf Matematik dersinin 7. ünitesi "Veriden Olasılığa" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 5 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 2 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Tümleyen Olay konu anlatımı
5 dakikada okunur · 7. Sınıf Matematik
Örnek uzayda bir olaya ait çıktıların dışında kalan tüm çıktılara o olayın tümleyeni denir. Bir olayın çıktıları ile tümleyeninin çıktıları toplandığında örnek uzayın tamamı elde edilir. Buradan çok kullanışlı bir kural çıkar: bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılığının toplamı 1'dir (yani %100).
🔀 Tümleyen nedir?
Örnek uzayda bir olaya ait çıktıların dışında kalan tüm çıktılara o olayın tümleyeni denir.
Türk alfabesindeki 29 harfin ayrı kartlara yazılıp bir torbaya atıldığını düşün:
Ornek uzay = butun 29 harf Olay : "sesli harf gelmesi" Ciktilari : a, e, i, i, o, o, u, u -> 8 harf Tumleyeni : "sesli harf GELMEMESI" = "sessiz harf gelmesi" Ciktilari : kalan 21 harf
8 + 21 = 29 — yani olayın çıktıları ile tümleyeninin çıktıları toplamı örnek uzaya eşittir.
Tümleyen nasıl bulunur? Örnek uzayı yaz, olaya ait çıktıların üstünü çiz; geriye kalanların tamamı tümleyendir. Başka bir deyişle bir olayın tümleyeninin çıktıları, o olayın çıktılarının örnek uzaydan elenmesiyle bulunur.
Tümleyen hep "olmama" durumudur:
| Olay | Tümleyeni |
|---|---|
| Çift sayı gelmesi | Tek sayı gelmesi |
| Sesli harf gelmesi | Sessiz harf gelmesi |
| Kırmızı top çekilmesi | Kırmızı olmayan bir top çekilmesi |
| Zarın 6 gelmesi | Zarın 6 gelmemesi (1, 2, 3, 4, 5) |
| En az bir yazı gelmesi | Hiç yazı gelmemesi |
➕ Toplamları 1 eder
Olay ile tümleyeninin çıktıları birlikte örnek uzayı doldurduğu için olasılıkları da birlikte 1 eder:
P(olay) + P(tumleyen) = 1
Yüzde olarak:
P(olay) + P(tumleyen) = %100
Bu kuralın iki yönü de işe yarar:
P(tumleyen) = 1 - P(olay) P(olay) = 1 - P(tumleyen)
Örnek: Bir çekmecede 7'si siyah, 3'ü gri olmak üzere 10 çift çorap var. Rastgele bir çift seçiliyor.
| Olay | Kesir | Ondalık | Yüzde |
|---|---|---|---|
| Siyah olması | 7/10 | 0,7 | %70 |
| Siyah olmaması (tümleyeni) | 3/10 | 0,3 | %30 |
| Gri olması | 3/10 | 0,3 | %30 |
| Gri olmaması (tümleyeni) | 7/10 | 0,7 | %70 |
Kontrol edelim:
7/10 + 3/10 = 10/10 = 1 ✓ %70 + %30 = %100 ✓
Dikkat çekici bir nokta: burada sadece iki renk olduğu için "siyah olma" ile "griden farklı renk olma" aynı olaydır. Aynı şekilde "gri olma" ile "siyahtan farklı renk olma" da aynı olaydır. Ama çekmecede üçüncü bir renk olsaydı bu eşitlik bozulurdu.
⚡ Tümleyen neden işe yarar?
Bazı olasılıkları doğrudan hesaplamak uzun sürer; tümleyeninden gitmek çok daha kısadır.
Kural: soruda "en az bir", "hiç olmaması", "…dan farklı" gibi ifadeler görüyorsan tümleyeni düşün.
Örnek: Bir zar iki kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığı nedir?
Uzun yol: 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6 → 11 durum saymak gerekir.
Kısa yol (tümleyen): "En az bir 6"nın tümleyeni "hiç 6 gelmemesi"dir.
Tum durum sayisi = 6 × 6 = 36 Hic 6 gelmemesi = 5 × 5 = 25 (her atista 6 disi 5 secenek) P(hic 6 yok) = 25/36 P(en az bir 6) = 1 - 25/36 = 11/36
İkinci yol çok daha hızlıdır ve hata riski azdır.
Başka örnek: 20 soruluk bir testte bir öğrencinin en az bir soruyu doğru cevaplama olasılığı aranıyorsa, "hepsini yanlış cevaplama" olasılığını bulup 1'den çıkarmak yeterlidir.
🧩 Örnekle anlayalım
Bir torbaya üzerinde 2, 8, 9, 11, 15 sayıları yazılı eşit büyüklükte 5 kart atılıyor ve rastgele bir kart çekiliyor. (a) Örnek uzayı yazınız. (b) "Çift sayı gelmesi" olayının çıktılarını ve tümleyeninin çıktılarını yazınız. (c) Çift sayı gelme olayının tümleyeninin olasılığını yüzde olarak bulunuz — iki ayrı yolla. (ç) İki olasılığın toplamını kontrol ediniz.
Çözümü göster
(a) Örnek uzay.
Ornek uzay = {2, 8, 9, 11, 15}
Cikti sayisi = 5(b) Olay ve tümleyeninin çıktıları.
Çift sayıları bulalım (2'ye kalansız bölünenler):
2 : 2 = 1 -> cift 8 : 2 = 4 -> cift 9, 11, 15 -> tek (2'ye bolunmezler)
Olay "cift sayi gelmesi" : {2, 8} -> 2 cikti
Tumleyeni "cift sayi GELMEMESI"
yani "tek sayi gelmesi" : {9, 11, 15} -> 3 ciktiKontrol: 2 + 3 = 5 ✓ Olayın ve tümleyeninin çıktıları toplamı örnek uzaya eşit.
(c) Tümleyenin olasılığı — iki yol.
1. yol: doğrudan sayarak. Tümleyenin çıktı sayısını örnek uzaya bölelim:
P(tumleyen) = 3 / 5
Yüzdeye çevirelim — paydayı 100 yapalım (5 × 20 = 100):
3/5 = 60/100 = %60
2. yol: 1'den çıkararak. Önce olayın kendi olasılığını bulalım:
P(cift) = 2 / 5 = 40/100 = %40
Şimdi tümleyen kuralını uygulayalım:
P(tumleyen) = 1 - P(cift) P(tumleyen) = %100 - %40 P(tumleyen) = %60
İki yol da %60 verdi ✓
(ç) Toplamı kontrol edelim.
P(cift) + P(tumleyen) = 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1 Yuzde olarak: %40 + %60 = %100 ✓
Kural doğrulandı: bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılığının toplamı daima 1'dir.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Tümleyen, olayın tersi bir olaydır ama örnek uzayla ilgisi yoktur” yanlıştır. Tümleyen, aynı örnek uzayda olaya ait çıktıların dışında kalan tüm çıktılardır; örnek uzay olmadan tanımlanamaz.
- “Olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 2'dir” ya da başka bir sayı olduğunu düşünmek yanlıştır. Toplam daima 1 (yüzde olarak %100) eder.
- “Kırmızı topun tümleyeni mavi toptur” yanlıştır — torbada üçüncü bir renk varsa. Tümleyen "kırmızı olmayan bütün toplar"dır, yalnızca bir renk değil.
- “Tümleyen hesabı uzun yol” yanlıştır. "En az bir" ya da "hiç olmaması" ifadeleri geçen sorularda tümleyenden gitmek çok daha kısadır: P(en az bir) = 1 − P(hiç yok).
- “Tümleyeni bulmak için bazı çıktıları seçmek yeter” yanlıştır. Örnek uzaydaki, olaya ait olmayan bütün çıktılar tümleyene girer; biri atlanırsa olasılık yanlış çıkar.
✏️ Tümleyen Olay soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. Bir olayın gerçekleşme olasılığı 3/11 ise gerçekleşmeme olasılığı kaçtır?
Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir: 1 − 3/11 = 8/11.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 8/11
Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir: 1 − 3/11 = 8/11.
2. Bir olayın gerçekleşme olasılığı 1/6 ise gerçekleşmeme olasılığı kaçtır?
Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir: 1 − 1/6 = 5/6.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 5/6
Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı 1'dir: 1 − 1/6 = 5/6.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
Ünitenin yıl içindeki yerine göre genellikle şu yazılılarda sorulur. Okulunun konu dağılımı farklı olabilir.