📖 Üçgen Eşitsizliği
Üçgen Eşitsizliği, 8. Sınıf Matematik dersinin 5. ünitesi "Üçgenler / Eşlik ve Benzerlik" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 4 soru var. Aşağıda bu konunun kısa konu anlatımını bulursun — üyelik gerekmez.
📖 Üçgen Eşitsizliği konu anlatımı
6 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarının uzunluğundan büyüktür. Aynı biçimde iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değeri, üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür. Bu iki kurala birlikte üçgen eşitsizliği denir ve tek bir satırda yazılır: |b − c| < a < b + c.
📐 Üçgen eşitsizliği
Kenarları a, b, c olan bir üçgende her kenar için aynı kural geçerlidir:
|b - c| < a < b + c |a - c| < b < a + c |a - b| < c < a + b
Tek cümleyle: bir kenar, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.
Neden böyle? 7 cm ve 3 cm uzunluğunda iki ip düşün. Uçlarını birleştirip üçüncü kenarı oluşturmaya çalış:
Ipler tamamen aciksa (ayni dogrultuda, ayni yon): ucuncu kenar = 7 + 3 = 10 cm -> ucgen OLMAZ, duz cizgi olur Ipler tamamen kapaliysa (ust uste, ters yon): ucuncu kenar = 7 - 3 = 4 cm -> ucgen OLMAZ, duz cizgi olur Aradaki her deger (4 ile 10 arasi): ucgen OLUR
İşte sınırlar buradan gelir: iki uç durum üçgen vermez, aradaki her değer verir. Bu yüzden eşitsizlikte "küçüktür" kullanılır, "küçük eşittir" değil.
Pratik sonuç: üçgen eşitsizliğini yalnızca en uzun kenar için kontrol etmek yeterlidir. En uzun kenar diğer ikisinin toplamından küçükse, diğer iki eşitsizlik kendiliğinden sağlanır.
✅ Üçgen oluşur mu?
Verilen üç uzunlukla üçgen oluşup oluşmadığını kontrol etmek için en uzun kenarı diğer ikisinin toplamıyla karşılaştırırız.
Örnek 1: 7 cm, 6 cm, 5 cm
En uzun: 7 Diger ikisinin toplami: 6 + 5 = 11 7 < 11 ✓
→ Üçgen oluşur.
Bütün eşitsizlikleri de yazabiliriz:
|6 - 5| < 7 < 6 + 5 -> 1 < 7 < 11 ✓ |7 - 6| < 5 < 7 + 6 -> 1 < 5 < 13 ✓ |7 - 5| < 6 < 7 + 5 -> 2 < 6 < 12 ✓
Üçü de sağlandı.
Örnek 2: 8 birim, 5 birim, 3 birim
En uzun: 8 Diger ikisinin toplami: 5 + 3 = 8 8 < 8 ? HAYIR, esit!
→ Üçgen oluşmaz. Çünkü 3 = 8 − 5, yani bir kenar diğer ikisinin farkına tam eşit. Bu durumda üç nokta aynı doğru üzerine düşer, üçgen kapanmaz.
Örnek 3: 10 cm, 4 cm, 3 cm
En uzun: 10 Diger ikisinin toplami: 4 + 3 = 7 10 < 7 ? HAYIR
→ Üçgen oluşmaz. Kısa iki kenar uzun kenara yetişemez.
🔢 Üçüncü kenarın alabileceği değerler
İki kenar biliniyorsa üçüncünün hangi aralıkta olabileceğini bulabiliriz.
Örnek: PRS üçgeninde |PR| = 13 cm ve |PS| = 10 cm ise |RS| nun alabileceği tam sayı değerleri nelerdir?
|13 - 10| < |RS| < 13 + 10
3 < |RS| < 23Tam sayı değerleri: 4, 5, 6, …, 22
Kaç tane olduğunu sayalım:
22 - 4 + 1 = 19 tane
Dikkat: 3 ve 23 dâhil değildir, çünkü eşitsizlikte "küçüktür" vardır. Bu, en sık yapılan hatadır.
En büyük ve en küçük değer soruları:
|PT| = 22 cm, |PO| = 18 cm, |OT| dogal sayi.
|OT| EN FAZLA kac olabilir?
|22 - 18| < |OT| < 22 + 18
4 < |OT| < 40
En fazla: 39 cm (40 degil!)
En az : 5 cm (4 degil!)Çevre sorularında kullanımı. Kenarları 24 m ve 19 m olan üçgen bir bahçenin çevresi ne olabilir?
Ucuncu kenar x olsun:
|24 - 19| < x < 24 + 19
5 < x < 43
Cevre = 24 + 19 + x = 43 + x
5 < x < 43 -> 48 < cevre < 86Çevre 48 m ile 86 m arasında olmalıdır (ikisi dâhil değil). Seçenekler 44, 48, 73, 86 ise doğru cevap 73 m'dir: 44 ve 48 küçük/sınırda, 86 sınırda.
🔗 İki üçgenin ortak kenarı
Bir doğru parçası iki üçgenin ortak kenarıysa, her iki üçgen için eşitsizlik yazılır ve ortak çözüm bulunur.
Örnek: NKLM dörtgeninde [NL] köşegeni çizilmiş. |NK| = 4 cm, |KL| = 2 cm, |LM| = 3 cm, |NM| = 6 cm. |NL| = b ise b hangi aralıktadır?
NKL üçgeni için:
|4 - 2| < b < 4 + 2
2 < b < 6NLM üçgeni için:
|6 - 3| < b < 6 + 3
3 < b < 9Ortak çözüm. İki eşitsizliğin ortak çözümü, alt sınırların en büyüğü ile üst sınırların en küçüğü arasındadır:
Alt sinirlar : 2 ve 3 -> en buyuk: 3 Ust sinirlar : 6 ve 9 -> en kucuk: 6 Ortak cozum: 3 < b < 6
2-----------6 (NKL ucgeni)
3-----------9 (NLM ucgeni)
|-----| ortak: 3 < b < 6b'nin alabileceği tam sayı değerleri: 4 ve 5.
Mantığı: b her iki üçgende de kenar olduğu için iki şartı birden sağlamak zorundadır. Yalnızca bir eşitsizliğe bakmak eksik cevap verir.
🧩 Örnekle anlayalım
Bir üçgenin kenar uzunlukları 2x − 1, x + 4 ve 9 birimdir. (a) Üçüncü kenar olarak 9'u ele alıp üçgen eşitsizliğini yazınız. (b) x'in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. (c) Bu değerlerden x = 6 için üçgenin kenarlarını yazıp eşitsizliği kontrol ediniz.
Çözümü göster
(a) Üçgen eşitsizliğini yazalım. Kenar 9'u ele alalım; diğer iki kenar 2x − 1 ve x + 4:
|(2x - 1) - (x + 4)| < 9 < (2x - 1) + (x + 4)
Parantezleri açalım:
Fark : (2x - 1) - (x + 4) = 2x - 1 - x - 4 = x - 5 Toplam : (2x - 1) + (x + 4) = 3x + 3
Eşitsizlik:
|x - 5| < 9 < 3x + 3
(b) x'in değerlerini bulalım. İki şartı ayrı ayrı çözelim.
1. şart: 9 < 3x + 3
9 - 3 < 3x
6 < 3x
2 < x2. şart: |x − 5| < 9
Mutlak değer eşitsizliğini açalım:
-9 < x - 5 < 9 -9 + 5 < x < 9 + 5 -4 < x < 14
3. şart — kenarlar pozitif olmalı:
2x - 1 > 0 -> x > 0,5 x + 4 > 0 -> x > -4
Ortak çözüm. Alt sınırların en büyüğü ile üst sınırların en küçüğünü alalım:
Alt sinirlar: 2 ; -4 ; 0,5 -> en buyuk: 2 Ust sinir : 14 2 < x < 14
Tam sayı değerleri: 3, 4, 5, …, 13
13 - 3 + 1 = 11 tane
(c) x = 6 için kontrol edelim.
Kenarları hesaplayalım:
2x - 1 = 2 · 6 - 1 = 11 birim x + 4 = 6 + 4 = 10 birim ucuncu kenar = 9 birim
Üç eşitsizliği de kontrol edelim. En uzun kenar 11:
11 < 10 + 9 = 19 ✓
Diğerleri:
|11 - 10| < 9 < 11 + 10 -> 1 < 9 < 21 ✓ |11 - 9| < 10 < 11 + 9 -> 2 < 10 < 20 ✓ |10 - 9| < 11 < 10 + 9 -> 1 < 11 < 19 ✓
Üçü de sağlandı → kenarları 11, 10 ve 9 birim olan bir üçgen oluşur ✓
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Sınır değerleri de alınır” yanlıştır. Eşitsizlikte "küçüktür" vardır: 3 < |RS| < 23 ise alabileceği değerler 4'ten 22'ye kadardır; 3 ve 23 dâhil değildir.
- “İki kenarın toplamı üçüncüye eşit olabilir” yanlıştır. Toplam üçüncü kenara eşitse üç nokta aynı doğru üzerine düşer ve üçgen oluşmaz (8, 5, 3 gibi).
- “Yalnızca toplamı kontrol etmek yeter” eksiktir. Üçgen eşitsizliği iki taraflıdır: kenar, farkın mutlak değerinden de büyük olmalıdır.
- “Üç eşitsizliğin hepsini yazmak gerekir” gerekli değildir. En uzun kenarı diğer ikisinin toplamıyla karşılaştırmak yeterlidir; o sağlanırsa diğerleri kendiliğinden sağlanır.
- “İki üçgenin ortak kenarında bir eşitsizlik yeter” yanlıştır. Ortak kenar iki şartı birden sağlamalıdır; ortak çözüm bulunur (alt sınırların en büyüğü ile üst sınırların en küçüğü arası).
- “Farkın mutlak değeri alınmasa da olur” yanlıştır. Hangi kenarın büyük olduğunu bilmediğimizde mutlak değer sonucu negatif olmaktan kurtarır.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.