📖 Eş ve Benzer Şekiller

⚖️ Eşlik ve benzerlik

İlişki tek yönlüdür:

Es sekiller  ->  ayni zamanda BENZERDIR  ✓
Benzer sekiller  ->  es OLMAYABILIR     ✗

Neden? Çünkü eşlikte oran 1'dir — kenarlar hem orantılı hem eşittir. Benzerlikte oran 1 dışında bir sayı olabilir.

Günlük hayattan: bir A4 kâğıdını ortadan ikiye katladığında ortaya çıkan iki parça birbirine eştir. Kâğıdın tamamı ile yarısı ise (kenar oranları tutuyorsa) benzerdir.

Fotokopi örneği: bir şekli aynı boyutta fotokopi çekersen eş, %200 büyüterek çekersen benzer şekil elde edersin.

✅ Eşlik nasıl gösterilir?

Eş şekillerde birbirine karşılık gelen kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir.

ABCD ve EFGH dörtgenlerinin eş olduğunu göstermek için sekiz eşitliğin hepsi sağlanmalıdır:

Kenarlar:              Acilar:
|AB| = |EF|            m(A) = m(E)
|BC| = |FG|            m(B) = m(F)
|CD| = |GH|            m(C) = m(G)
|AD| = |HE|            m(D) = m(H)

Hepsi tutuyorsa:

ABCD ≅ EFGH

Harf sırası çok önemlidir. ABCD ≅ EFGH yazdığında şunu söylemiş olursun:

A <-> E,  B <-> F,  C <-> G,  D <-> H

Yani A köşesinin karşılığı E, B'nin karşılığı F'dir. Harfleri karışık yazmak eşleştirmeyi bozar ve yanlış sonuç verir.

Nasıl elde edilir? Katlanmış bir kâğıda bir dörtgen çizip köşelerini toplu iğneyle delersen, arkada oluşan delikler eş bir dörtgen verir. Çünkü katlama bir yansıma dönüşümüdür ve yansıma şeklin boyutunu değiştirmez.

Eşlik veren dönüşümler:

Oteleme  ->  es sekil
Yansima  ->  es sekil
Dondurme ->  es sekil

Bu üç dönüşümün hiçbiri şeklin boyutunu değiştirmez.

📐 Benzerlik nasıl gösterilir?

Benzer şekillerde birbirine karşılık gelen açı ölçüleri eşittir ve kenar uzunlukları orantılıdır.

ABCD ile KLMN dörtgenini karşılaştıralım:

Kenarlar:                Acilar:
|KL| = 2 · |AB|          m(A) = m(K)
|LM| = 2 · |BC|          m(B) = m(L)
|MN| = 2 · |CD|          m(C) = m(M)
|KN| = 2 · |AD|          m(D) = m(N)

Bütün kenarlar aynı sayıyla (2) çarpılmış → kenarlar orantılı. Açılar eşit → şekiller benzerdir:

ABCD ∼ KLMN

Bu sabit sayıya benzerlik oranı denir; burada 2'dir (ya da KLMN'den ABCD'ye bakarsak ½).

Kenarların orantılı olması ne demek? Bütün kenar oranlarının aynı olması demek:

|KL|   |LM|   |MN|   |KN|
---- = ---- = ---- = ---- = 2
|AB|   |BC|   |CD|   |AD|

Bir kenar bile orana uymuyorsa şekiller benzer değildir.

Nasıl elde edilir? Bir noktadan (K) şeklin her köşesine ışın çizip, her köşenin K'ya uzaklığını aynı sayıyla çarparsan benzer bir şekil elde edersin. Bu, haritaların ve maketlerin kurulma biçimidir.

🔺 Üçgenlerde özel durum

Çokgenlerde benzerlik için hem açılar eşit hem kenarlar orantılı olmalıdır. Ama üçgenlerde iş kolaylaşır:

Iki ucgenin karsilikli IKI acisi esitse,
ucuncu aci da esit olur (ic acilar toplami 180°)
ve ucgenler BENZERDIR.

Bu yüzden üçgenlerde iki açının eşitliği benzerlik için yeterlidir — kenarları kontrol etmeye gerek kalmaz.

Dörtgenlerde bu geçerli değildir! Bir karenin ve bir dikdörtgenin dört açısı da 90°'dir ama bunlar benzer değildir, çünkü kenarları orantılı değildir.

Eşlik ve benzerlikte değişen–değişmeyen:

Son satır çok önemlidir: benzerlik oranı 2 ise çevre 2 kat, alan 4 kat olur.