📖 Üçgende Kenar-Açı İlişkileri

⚖️ Temel kural

Bir üçgende uzun olan kenarın karşısındaki açının ölçüsü, kısa olan kenarın karşısındaki açının ölçüsünden büyüktür.

ABC üçgeninde:

|BC| > |AC| > |AB|   ise   m(A) > m(B) > m(C)

Neden karşısındaki? Her kenarın karşısında bir köşe vardır:

Kural: kenarın adında bulunmayan harf, karşı açıyı gösterir. [BC] kenarında B ve C var, geriye A kalır.

        A
       / \
      /   \
   c /     \ b
    /       \
   B---------C
        a

Sıralama yönleri aynıdır: en uzun kenarın karşısında en büyük açı, en kısa kenarın karşısında en küçük açı bulunur. Kenar sıralamasını yazdığında açı sıralaması aynı sırayla çıkar.

Kural iki yönlü çalışır:

Kenarlari biliyorsan  ->  acilari sirala
Acilari biliyorsan    ->  kenarlari sirala

📏 Kenarlardan açılara

Örnek: ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |BC| = 10 cm, |AC| = 8 cm. İç açıları sıralayalım.

1. adım — kenarları sırala:

|BC| > |AC| > |AB|
 10  >   8  >   4

2. adım — her kenarın karşı açısını bul:

[BC] -> A acisi
[AC] -> B acisi
[AB] -> C acisi

3. adım — aynı sırayla yaz:

m(A) > m(B) > m(C)

Kontrol mantığı: en uzun kenar [BC] = 10 cm, karşısındaki A açısı en büyük. En kısa kenar [AB] = 4 cm, karşısındaki C açısı en küçük. ✓

Başka bir örnek: kenarları 9 cm, 8 cm, 7 cm olan bir üçgende hangi açı en büyüktür?

En uzun kenar 9 cm olduğundan, onun karşısındaki açı en büyüktür. Yani kenar uzunlukları verilince açıları ölçmeye gerek kalmaz — sıralama yeterlidir.

Özel üçgenlere uygulama:

Dik üçgende hipotenüsün en uzun kenar olmasının sebebi tam olarak bu kuraldır: 90° en büyük açıdır (iki dik açı olamaz), bu yüzden karşısındaki kenar en uzundur.

📐 Açılardan kenarlara

Kural tersine de çalışır. Açılar biliniyorsa kenarları sıralarız.

Örnek: Bir üçgende m(A) = 40°, m(B) = 60° ise m(C) ve kenar sıralaması nedir?

1. adım — üçüncü açıyı bul. İç açılar toplamı 180°:

m(C) = 180° - 40° - 60° = 80°

2. adım — açıları sırala:

m(C) > m(B) > m(A)
 80° >  60° >  40°

3. adım — karşı kenarları yaz:

C acisinin karsisi: [AB]
B acisinin karsisi: [AC]
A acisinin karsisi: [BC]

|AB| > |AC| > |BC|

En büyük açının (80°) karşısındaki kenar en uzundur.

İki açı eşitse kenarlar da eşittir:

m(B) = m(C)  ->  |AB| = |AC|   (ikizkenar ucgen)

Bu, ikizkenar üçgenin tanımının açılar üzerinden söylenişidir.

🔗 Birleşik şekillerde en uzun kenarı bulma

İki üçgenin birleştiği şekillerde her üçgen ayrı ayrı incelenir, sonra ortak kenar üzerinden bağlantı kurulur.

Örnek: ABCD dörtgeninde [BD] köşegeni çizilmiş. Verilenler:

ABD ucgeninde: m(ADB) > m(DAB) > m(ABD)
BCD ucgeninde: m(DBC) > m(BDC) > m(BCD)

Şeklin en uzun kenarını bulalım.

1. adım — ABD üçgeninde kenarları sırala. Açı sıralamasını karşı kenarlara çevirelim:

m(ADB) en buyuk  ->  karsisi [AB]
m(DAB) ortada    ->  karsisi [BD]
m(ABD) en kucuk  ->  karsisi [AD]

|AB| > |BD| > |AD|

ABD üçgeninin en uzun kenarı [AB].

2. adım — BCD üçgeninde kenarları sırala:

m(DBC) en buyuk  ->  karsisi [CD]
m(BDC) ortada    ->  karsisi [BC]
m(BCD) en kucuk  ->  karsisi [BD]

|CD| > |BC| > |BD|

BCD üçgeninin en uzun kenarı [CD].

3. adım — ortak kenar üzerinden karşılaştır. İki sıralamanın ortak elemanı [BD]:

1. sıralama: |AB| > |BD|
2. sıralama: |CD| > |BC| > |BD|

Buradan |AB| ile |CD| doğrudan karşılaştırılamaz. Ama şeklin kenarları [AB], [BC], [CD], [AD]'dir — [BD] bir köşegendir, kenar değildir.

ABD'den: |AB| > |AD|
BCD'den: |CD| > |BC|

Verilen bilgilere göre |CD|, ABD üçgeninin en uzun kenarından da uzundur (çünkü |CD| > |BD| ve |BD| sıralamada |AB|'nin hemen altında ama ikisi farklı üçgenlerde).

Kitaptaki çözüme göre: ABD üçgeninde en uzun kenar [BD]'dir ve BCD üçgeninde |CD| > |BD| olduğundan şeklin en uzun kenarı [CD]'dir.

Çıkarılacak ders: birleşik şekillerde ortak kenar köprü görevi görür. İki ayrı üçgendeki uzunlukları ancak ortak kenar üzerinden kıyaslayabiliriz.