📖 Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme
Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 100 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 8 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme konu anlatımı
4 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri iki kat halinde yapılır: katsayılar kendi arasında, karekök içleri kendi arasında işleme girer. Yani √a · √b = √(a·b) ve √a : √b = √(a:b)'dir. Toplama ve çıkarmada ise bu serbestlik yoktur — bu yüzden çarpma ve bölme kareköklerde en kolay işlemlerdir.
✖️ Çarpma kuralı
Kareköklü ifadelerle çarpma işlemi yapılırken karekökün önündeki katsayılar kendi arasında çarpılıp sonucun katsayı kısmına, karekök içindeki sayılar kendi arasında çarpılıp sonucun karekökü içine yazılır.
√a · √b = √(a · b) c·√a · √b = c · √(a · b) c·√a · d·√b = (c · d) · √(a · b)
Örnekler:
√5 · √11 = √(5 · 11) = √55 2√3 · √7 = 2 · √21 = 2√21 4√3 · 2√2 = (4·2) · √6 = 8√6
Özel durum — karekök içleri aynıysa: sonuç doğrudan karekök içindeki sayıya eşit olur.
√13 · √13 = √(13 · 13) = √169 = 13
Genel olarak:
√a · √a = a
Bu, karekökün tanımından gelir: √a, kendisiyle çarpıldığında a veren sayıdır.
Alan üzerinden düşünelim: alanı 23 cm² olan bir karenin kenar uzunluğu √23 cm'dir. Kenarları çarpıp alana eşitlersek:
√23 · √23 = 23 ✓
➗ Bölme kuralı
Bölmede de aynı mantık geçerlidir:
√a : √b = √(a : b) c·√a : d·√b = (c : d) · √(a : b)
Örnekler:
√40 : √8 = √(40 : 8) = √5 √144 : √4 = √(144 : 4) = √36 = 6
İkinci örnek iki yoldan çözülebilir:
I. yol — önce karekökleri al. 144 ve 4 tam kare sayılar:
√144 = 12, √4 = 2 12 : 2 = 6
II. yol — aynı karekök içine yaz.
√144 : √4 = √(144 : 4) = √36 = 6
İkisi de 6 verdi. Hangi yol kolaysa onu seç: tam kare sayılar varsa I. yol, yoksa II. yol daha pratiktir.
Katsayılı bölme:
20√3 : 5√3 = (20 : 5) · √(3 : 3) = 4 · √1 = 4 · 1 = 4 30√70 : 10√14 = (30 : 10) · √(70 : 14) = 3 · √5 = 3√5
Tam kare çarpanla sadeleştirme:
√49 : √9 = (7·7 altinda) ... = 7 : 3 = 7/3
🔍 Kök dışına çıkarma
Çarpma kuralı tersine de çalışır. Karekök içindeki sayıyı tam kare çarpanlara ayırıp kök dışına çıkarabiliriz:
√(a · b) = √a · √b
Örnek: √50'yi sadeleştirelim.
50 = 25 · 2 (25 tam kare) √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
Nasıl yapılır?
1. adim: Kok icindeki sayiyi, EN BUYUK tam kare
carpanini bulacak sekilde ayir.
2. adim: Tam karenin kokunu al, disariya yaz.
3. adim: Kalani kok icinde birak.| İfade | Ayrıştırma | Sadeleşmiş hâli |
|---|---|---|
| √18 | 9 · 2 | 3√2 |
| √32 | 16 · 2 | 4√2 |
| √45 | 9 · 5 | 3√5 |
| √72 | 36 · 2 | 6√2 |
| √80 | 16 · 5 | 4√5 |
| √200 | 100 · 2 | 10√2 |
Tersi de yapılır — katsayıyı kök içine almak:
c·√a = √(c² · a) 5√2 = √(25 · 2) = √50 3√5 = √(9 · 5) = √45
Bu işlem, iki kareköklü ifadeyi karşılaştırmak için çok işe yarar: ikisini de kök içine alıp sayıları karşılaştırırsın.
🧩 Problem çözümünde kullanma
Örnek — eşkenar dörtgenin alanı. Köşegenleri √80 cm ve √40 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²?
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin uzunlukları çarpımının yarısına eşittir:
A = (√80 · √40) : 2 A = √(80 · 40) : 2 A = √3200 : 2
√3200'ü sadeleştirelim:
3200 = 1600 · 2 (1600 = 40² tam kare) √3200 = 40√2 A = 40√2 : 2 = 20√2 cm²
Örnek — eksik çarpanı bulma.
√Δ : (2√6) = 20√24
Bölme işleminde bölünen = bölen × bölüm olduğundan:
√Δ = (2√6) · (20√24) √Δ = (2 · 20) · √(6 · 24) √Δ = 40 · √144 √Δ = 40 · 12 √Δ = 480
Sonucu kök içine alalım:
Δ = 480² = 230 400
Ama soruda Δ kök içinde değil doğrudan isteniyorsa:
Δ = 480
Dikkat: sorunun neyi istediğini (kök içini mi, sayının kendisini mi) dikkatle okumak gerekir.
🧩 Örnekle anlayalım
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz ve mümkün olduğunca sadeleştiriniz.
(a) 3√2 · 5√8
(b) √75 : √3
(c) 12√18 : 4√2
(ç) √6 · √10 · √15
Çözümü göster
(a) 3√2 · 5√8
Katsayıları ve kök içlerini ayrı ayrı çarpalım:
katsayilar : 3 · 5 = 15 kok icleri : 2 · 8 = 16 = 15 · √16
√16 tam kare:
= 15 · 4 = 60
→ 60 (karekök tamamen kayboldu)
(b) √75 : √3
Aynı kök içine yazalım:
= √(75 : 3) = √25 = 5
→ 5
(c) 12√18 : 4√2
Katsayıları ve kök içlerini ayrı ayrı bölelim:
katsayilar : 12 : 4 = 3 kok icleri : 18 : 2 = 9 = 3 · √9 = 3 · 3 = 9
→ 9
(ç) √6 · √10 · √15
Üçünü de aynı kök içine yazalım:
= √(6 · 10 · 15) = √900
900 tam kare (30² = 900):
= 30
→ 30
İkinci yol — çarpanlara ayırarak: büyük sayı çarpmak istemiyorsan her sayıyı asal çarpanlarına ayırabilirsin:
6 = 2 · 3
10 = 2 · 5
15 = 3 · 5
Carpim = 2 · 3 · 2 · 5 · 3 · 5
= (2 · 2) · (3 · 3) · (5 · 5)
= 2² · 3² · 5²
√(2² · 3² · 5²) = 2 · 3 · 5 = 30 ✓Bu yol, kök içindeki sayı çok büyük olduğunda çok daha hızlıdır: her çifti bir tane olarak dışarı çıkarırsın.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “√a · √b = √a + √b” gibi işlemleri karıştırmak yanlıştır. Çarpmada kök içleri çarpılır: √a · √b = √(a·b). Toplama için böyle bir kural yoktur (√9 + √16 = 7, √25 = 5 değil).
- “Katsayıyı da kök içine çarpmak.” 2√3 · 4√5 işleminde katsayılar kendi arasında (2 · 4 = 8), kök içleri kendi arasında (3 · 5 = 15) çarpılır: 8√15. Katsayıyı kök içine katmak yanlıştır.
- “√a · √a = √a² diye bırakmak.” Sonuç a'dır. √13 · √13 = 13; √169 diye bırakmak işi yarım bırakmaktır.
- “Sonucu sadeleştirmeyi unutmak.” √50 sonucu 5√2 olarak sadeleştirilmelidir. Kök içindeki en büyük tam kare çarpan dışarı çıkarılır.
- “Katsayıyı kök içine alırken kareye yükseltmemek.” 5√2 = √(5² · 2) = √50'dir; √(5 · 2) = √10 değil. Katsayı kök içine girerken karesi alınır.
- “Bölmede bölüneni ve böleni ters yazmak.” √40 : √8 = √(40 : 8) = √5'tir; √(8 : 40) değil. Sıra korunur.
✏️ Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. Kareköklü ifadelerde çarpma yapılırken katsayılar nasıl işleme girer?
Kök içleri de kendi arasında çarpılır.
Katsayılar kendi aralarında girer.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Kendi aralarında
Kök içleri de kendi arasında çarpılır.
Katsayılar kendi aralarında girer.
2. Yüz kırk dördün karekökü dördün kareköküne bölünürse sonuç kaçtır?
İki yoldan da aynı sonuç bulunur.
Sonuç altıdır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Altı
İki yoldan da aynı sonuç bulunur.
Sonuç altıdır.
3. Çarpmanın iki kat hâlinde yapılmasının anlamı nedir?
İki grup kendi arasında çarpılır.
Anlam bu ayrılıktır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Katsayı ve kök içinin ayrı işlemesi
İki grup kendi arasında çarpılır.
Anlam bu ayrılıktır.
4. Eşkenar dörtgen alanında köşegen çarpımının kullanılmasının nedeni nedir?
Çarpım ikiye bölünür.
Neden bu formüldür.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Alan formülünün bunu istemesi
Çarpım ikiye bölünür.
Neden bu formüldür.
5. Alanı 23 santimetre kare olan bir karenin kenar uzunluğu sorulmaktadır. Bu uzunluk hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Karenin alanı kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Alanı yirmi üç olan karenin kenarı kök yirmi üç santimetredir.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: √23
Karenin alanı kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Alanı yirmi üç olan karenin kenarı kök yirmi üç santimetredir.
6. √200 ifadesi en sade biçimde yazılmak istenmektedir. Bu biçim hangi seçenekte doğru verilmiştir?
İki yüz, yüz ile ikinin çarpımıdır ve yüz tam karedir.
Yüzün karekökü dışarı çıkınca on kök iki bulunur.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 10√2
İki yüz, yüz ile ikinin çarpımıdır ve yüz tam karedir.
Yüzün karekökü dışarı çıkınca on kök iki bulunur.
7. √54 ifadesi √6 ifadesine bölünmektedir. Bu bölmenin sonucu hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Kök içleri bölününce dokuz bulunur.
Dokuzun karekökü üç olduğu için sonuç üçtür.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 3
Kök içleri bölününce dokuz bulunur.
Dokuzun karekökü üç olduğu için sonuç üçtür.
8. √(a) ile √(a) çarpımının sonucu sorulmaktadır. Bu sonuç hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Bir karekök kendisiyle çarpılınca kök içindeki sayıya eşit olur.
Bu özellik karekökün tanımından gelir.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: a
Bir karekök kendisiyle çarpılınca kök içindeki sayıya eşit olur.
Bu özellik karekökün tanımından gelir.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.