← 2. Ünite: Kareköklü İfadeler / Veri İşleme

📖 Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar

Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 2 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 2 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.

Hemen soru çöz ↓ Konu testi (2 soru, puanlı) Ünite testi Ünitenin bütün konuları

📖 Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar konu anlatımı

5 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik

Bir kareköklü ifadeyi hangi sayıyla çarparsak sonuç doğal sayı olur? Yöntem şu: ifadeyi önce a√b biçiminde sadeleştir; sonucun doğal sayı olması için çarpanın karekök kısmı √b'nin katı olmalıdır. Çünkü √b · √b = b olur ve karekök kaybolur. Kısaca: kök içi aynı kalan ifadelerle çarpılırsa sonuç doğal sayı çıkar.

🔑 Temel fikir

Karekökten kurtulmanın tek yolu, aynı karekökle çarpmaktır:

√b · √b = b     (dogal sayi)

Buradan genel kural çıkar: √b içeren bir ifade, kök içi b olan başka bir ifadeyle çarpıldığında sonuç doğal sayı olur.

√12'yi deneyelim:

√12 · √12 = 12          ->  DOGAL SAYI  ✓
√12 · √3  = √36 = 6     ->  DOGAL SAYI  ✓
√12 · 3√3 = 3 · 6 = 18  ->  DOGAL SAYI  ✓
√12 · √75 = √900 = 30   ->  DOGAL SAYI  ✓

√12 · √2  = √24         ->  dogal sayi DEGIL  ✗
√12 · √6  = √72         ->  dogal sayi DEGIL  ✗

İşe yarayan çarpanların ortak yanı ne? Hepsini sadeleştirelim:

√12 = 2√3
√3  = √3
3√3 = 3√3
√75 = 5√3

Hepsinin kök içi 3! İşte sır burada: √12'nin sade hâli 2√3 olduğu için, kök içi 3 olan her ifade onunla çarpıldığında karekök kaybolur.

🛠️ Çözüm yöntemi

1. adim: Verilen ifadeyi a√b bicimine sadelestir.
2. adim: Kok icindeki b sayisini belirle.
3. adim: Secenekleri de a√b bicimine sadelestir.
4. adim: Kok ici b olanlar sonucu dogal sayi yapar;
         olmayanlar yapmaz.

Örnek: √32 hangi sayıyla çarpılırsa sonuç doğal sayı olmaz?

A) √2 B) 7√2 C) √32 D) 2

1. adım — √32'yi sadeleştir:

32 = 16 · 2
√32 = √(16 · 2) = 4√2

2. adım — kök içi: 2

3. adım — seçenekleri kontrol et:

Seçenek	Kök içi	Çarpım	Doğal sayı mı?
√2	2 ✓	4√2 · √2 = 4 · 2 = 8	Evet
7√2	2 ✓	4√2 · 7√2 = 28 · 2 = 56	Evet
√32	2 ✓	4√2 · 4√2 = 16 · 2 = 32	Evet
2	karekök yok ✗	4√2 · 2 = 8√2	Hayır

→ Cevap: D) 2 ile çarpıldığında karekök yerinde kalır, sonuç doğal sayı olmaz.

Önemli ayrım: 2 ile √2 çok farklıdır. Doğal sayı olan 2, kareköklü ifadeyi yalnızca büyütür, kökten kurtarmaz.

📋 Örnek bir tablo

√75 sayısını farklı sayılarla çarpalım. Önce sadeleştirelim:

√75 = √(25 · 3) = 5√3     ->  kok ici: 3

Çarpan	Çarpanın sade hâli	İşlem	Sonuç	Doğal sayı mı?
√75	5√3	5√3 · 5√3 = 25 · 3	75	Evet
√3	√3	5√3 · √3 = 5 · 3	15	Evet
2√5	2√5	5√3 · 2√5 = 10√15	10√15	Hayır
4√3	4√3	5√3 · 4√3 = 20 · 3	60	Evet
5	5 (kök yok)	5√3 · 5 = 25√3	25√3	Hayır

Kural doğrulandı: kök içi 3 olanlar (√75, √3, 4√3) sonucu doğal sayı yaptı; kök içi farklı olan (2√5) ya da hiç karekök içermeyen (5) yapmadı.

En küçük çarpanı bulma: "√75'i doğal sayı yapan en küçük doğal sayı çarpan kaçtır?" diye sorulursa:

√75 = 5√3
En kucuk cozum: √3 ile carpmak
5√3 · √3 = 15

Ama "kök içinde en küçük" isteniyorsa cevap 3'tür (√3 biçiminde).

📐 Geometride kullanımı

Bu konu, kenarları kareköklü olan şekillerin alanının doğal sayı olup olmadığını anlamakta kullanılır.

Alanı doğal sayı olan dikdörtgeni işlem yapmadan bulabiliriz: kenarlarının kök içleri aynı olana bakarız.

Dikdörtgen	Kenarlar	Sade hâlleri	Kök içleri	Alan
ABCD	3 ve √32	3 ve 4√2	kök yok, 2	12√2 (doğal değil)
KLMN	√32 ve 15√3	4√2 ve 15√3	2 ve 3	60√6 (doğal değil)
PRST	√32 ve 2√5	4√2 ve 2√5	2 ve 5	8√10 (doğal değil)
—	√32 ve √2	4√2 ve √2	2 ve 2 ✓	8 (doğal sayı)

Son satırdaki gibi kök içleri eşit olan kenarların çarpımı doğal sayı verir.

Hızlı karar verme:

Iki kareköklu ifadenin carpimi dogal sayi mi?
  -> Ikisini de a√b bicimine sadelestir
  -> Kok icleri AYNI mi? Evet -> dogal sayi
                          Hayir -> dogal sayi degil

Bir uyarı: kök içleri farklı olsa da çarpımları tam kare olursa sonuç yine doğal sayı çıkar:

√2 · √8 = √16 = 4     (kok icleri 2 ve 8, farkli!)

Ama √8 = 2√2 olduğundan sade hâlde ikisinin kök içi de 2'dir. Yani sadeleştirince kural her zaman tutar — bu yüzden sadeleştirme adımı atlanmamalıdır.

🧩 Örnekle anlayalım

(a) √18 sayısı aşağıdakilerden hangileriyle çarpıldığında sonuç doğal sayı olur? I. √2 II. 3 III. √8 IV. √50 V. √6
(b) Kenarları √45 cm ve √20 cm olan bir dikdörtgenin alanı doğal sayı mıdır? Alanı bulunuz.
(c) √27 · Δ = 18 ise Δ kaçtır?

Çözümü göster

(a) √18'i sadeleştirelim.

18 = 9 · 2
√18 = √(9 · 2) = 3√2    ->  kok ici: 2

Şimdi her seçeneği sadeleştirip kök içine bakalım:

I. √2 → kök içi 2 ✓

3√2 · √2 = 3 · 2 = 6     ->  DOGAL SAYI

II. 3 → karekök yok ✗

3√2 · 3 = 9√2            ->  dogal sayi DEGIL

III. √8 → √8 = √(4·2) = 2√2, kök içi 2 ✓

3√2 · 2√2 = 6 · 2 = 12   ->  DOGAL SAYI

IV. √50 → √50 = √(25·2) = 5√2, kök içi 2 ✓

3√2 · 5√2 = 15 · 2 = 30  ->  DOGAL SAYI

V. √6 → kök içi 6 ✗ (sadeleşmez)

3√2 · √6 = 3√12 = 3 · 2√3 = 6√3  ->  dogal sayi DEGIL

→ Cevap: I, III ve IV

(b) Dikdörtgenin alanı. Önce kenarları sadeleştirelim:

√45 = √(9 · 5)  = 3√5    ->  kok ici: 5
√20 = √(4 · 5)  = 2√5    ->  kok ici: 5

Kök içleri aynı (5) → alan doğal sayı olur.

A = 3√5 · 2√5
A = (3 · 2) · (√5 · √5)
A = 6 · 5
A = 30 cm²

→ Alan 30 cm², bir doğal sayıdır.

(c) √27 · Δ = 18

Önce √27'yi sadeleştirelim:

√27 = √(9 · 3) = 3√3

Denklemi yazalım:

3√3 · Δ = 18

Her iki tarafı 3'e bölelim:

√3 · Δ = 6

Sonucun doğal sayı olması için Δ'nın kök içi 3 olmalı. Δ = k√3 diyelim:

√3 · k√3 = k · 3 = 6
       3k = 6
        k = 2

→ Δ = 2√3

Kontrol: 3√3 · 2√3 = 6 · 3 = 18 ✓

⚠️ Sık yapılan hatalar

“Doğal sayıyla çarpmak karekökten kurtarır” yanlıştır. 4√2 · 2 = 8√2'dir, karekök yerinde kalır. Kökten kurtarmak için aynı kök içeren bir ifadeyle çarpmak gerekir.
“2 ile √2 aynı şeydir” yanlıştır. 2 bir doğal sayıdır, √2 irrasyonel bir sayıdır. Yalnızca √2 ile çarpmak √2'yi 2'ye dönüştürür.
“Kök içleri farklıysa sonuç kesinlikle doğal sayı olmaz” eksiktir. Önce sadeleştirmek gerekir: √2 · √8 görünüşte farklı ama √8 = 2√2 olduğundan sonuç 4 çıkar.
“Sadeleştirmeden karar vermek.” √32, √2 ve √50 görünüşte farklı sayılardır ama sade hâllerinde hepsinin kök içi 2'dir. Sadeleştirme adımı zorunludur.
“Katsayıyı hesaba katmamak.” Sonucun doğal sayı olup olmadığını kök içi belirler, ama sonucun kaç olduğunu katsayılar da belirler: 3√2 · 5√2 = 15 · 2 = 30.

💡 Aklında kalsın: Bir kareköklü ifadeyi önce a√b biçimine sadeleştir. Sonucun doğal sayı olması için çarpanın da sade hâlinde kök içi b olmalıdır (√b · √b = b). Doğal sayıyla çarpmak karekökü kaldırmaz. İki kareköklü ifadenin çarpımının doğal sayı olup olmadığını anlamak için ikisini de sadeleştirip kök içlerini karşılaştır. Aynıysa doğal sayı, farklıysa değil.

Anladım, konu testini çöz ►