📖 Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme
Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 3 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme konu anlatımı
4 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemleri iki kat halinde yapılır: katsayılar kendi arasında, karekök içleri kendi arasında işleme girer. Yani √a · √b = √(a·b) ve √a : √b = √(a:b)'dir. Toplama ve çıkarmada ise bu serbestlik yoktur — bu yüzden çarpma ve bölme kareköklerde en kolay işlemlerdir.
✖️ Çarpma kuralı
Kareköklü ifadelerle çarpma işlemi yapılırken karekökün önündeki katsayılar kendi arasında çarpılıp sonucun katsayı kısmına, karekök içindeki sayılar kendi arasında çarpılıp sonucun karekökü içine yazılır.
√a · √b = √(a · b) c·√a · √b = c · √(a · b) c·√a · d·√b = (c · d) · √(a · b)
Örnekler:
√5 · √11 = √(5 · 11) = √55 2√3 · √7 = 2 · √21 = 2√21 4√3 · 2√2 = (4·2) · √6 = 8√6
Özel durum — karekök içleri aynıysa: sonuç doğrudan karekök içindeki sayıya eşit olur.
√13 · √13 = √(13 · 13) = √169 = 13
Genel olarak:
√a · √a = a
Bu, karekökün tanımından gelir: √a, kendisiyle çarpıldığında a veren sayıdır.
Alan üzerinden düşünelim: alanı 23 cm² olan bir karenin kenar uzunluğu √23 cm'dir. Kenarları çarpıp alana eşitlersek:
√23 · √23 = 23 ✓
➗ Bölme kuralı
Bölmede de aynı mantık geçerlidir:
√a : √b = √(a : b) c·√a : d·√b = (c : d) · √(a : b)
Örnekler:
√40 : √8 = √(40 : 8) = √5 √144 : √4 = √(144 : 4) = √36 = 6
İkinci örnek iki yoldan çözülebilir:
I. yol — önce karekökleri al. 144 ve 4 tam kare sayılar:
√144 = 12, √4 = 2 12 : 2 = 6
II. yol — aynı karekök içine yaz.
√144 : √4 = √(144 : 4) = √36 = 6
İkisi de 6 verdi. Hangi yol kolaysa onu seç: tam kare sayılar varsa I. yol, yoksa II. yol daha pratiktir.
Katsayılı bölme:
20√3 : 5√3 = (20 : 5) · √(3 : 3) = 4 · √1 = 4 · 1 = 4 30√70 : 10√14 = (30 : 10) · √(70 : 14) = 3 · √5 = 3√5
Tam kare çarpanla sadeleştirme:
√49 : √9 = (7·7 altinda) ... = 7 : 3 = 7/3
🔍 Kök dışına çıkarma
Çarpma kuralı tersine de çalışır. Karekök içindeki sayıyı tam kare çarpanlara ayırıp kök dışına çıkarabiliriz:
√(a · b) = √a · √b
Örnek: √50'yi sadeleştirelim.
50 = 25 · 2 (25 tam kare) √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
Nasıl yapılır?
1. adim: Kok icindeki sayiyi, EN BUYUK tam kare
carpanini bulacak sekilde ayir.
2. adim: Tam karenin kokunu al, disariya yaz.
3. adim: Kalani kok icinde birak.| İfade | Ayrıştırma | Sadeleşmiş hâli |
|---|---|---|
| √18 | 9 · 2 | 3√2 |
| √32 | 16 · 2 | 4√2 |
| √45 | 9 · 5 | 3√5 |
| √72 | 36 · 2 | 6√2 |
| √80 | 16 · 5 | 4√5 |
| √200 | 100 · 2 | 10√2 |
Tersi de yapılır — katsayıyı kök içine almak:
c·√a = √(c² · a) 5√2 = √(25 · 2) = √50 3√5 = √(9 · 5) = √45
Bu işlem, iki kareköklü ifadeyi karşılaştırmak için çok işe yarar: ikisini de kök içine alıp sayıları karşılaştırırsın.
🧩 Problem çözümünde kullanma
Örnek — eşkenar dörtgenin alanı. Köşegenleri √80 cm ve √40 cm olan bir eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²?
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin uzunlukları çarpımının yarısına eşittir:
A = (√80 · √40) : 2 A = √(80 · 40) : 2 A = √3200 : 2
√3200'ü sadeleştirelim:
3200 = 1600 · 2 (1600 = 40² tam kare) √3200 = 40√2 A = 40√2 : 2 = 20√2 cm²
Örnek — eksik çarpanı bulma.
√Δ : (2√6) = 20√24
Bölme işleminde bölünen = bölen × bölüm olduğundan:
√Δ = (2√6) · (20√24) √Δ = (2 · 20) · √(6 · 24) √Δ = 40 · √144 √Δ = 40 · 12 √Δ = 480
Sonucu kök içine alalım:
Δ = 480² = 230 400
Ama soruda Δ kök içinde değil doğrudan isteniyorsa:
Δ = 480
Dikkat: sorunun neyi istediğini (kök içini mi, sayının kendisini mi) dikkatle okumak gerekir.
🧩 Örnekle anlayalım
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz ve mümkün olduğunca sadeleştiriniz.
(a) 3√2 · 5√8
(b) √75 : √3
(c) 12√18 : 4√2
(ç) √6 · √10 · √15
Çözümü göster
(a) 3√2 · 5√8
Katsayıları ve kök içlerini ayrı ayrı çarpalım:
katsayilar : 3 · 5 = 15 kok icleri : 2 · 8 = 16 = 15 · √16
√16 tam kare:
= 15 · 4 = 60
→ 60 (karekök tamamen kayboldu)
(b) √75 : √3
Aynı kök içine yazalım:
= √(75 : 3) = √25 = 5
→ 5
(c) 12√18 : 4√2
Katsayıları ve kök içlerini ayrı ayrı bölelim:
katsayilar : 12 : 4 = 3 kok icleri : 18 : 2 = 9 = 3 · √9 = 3 · 3 = 9
→ 9
(ç) √6 · √10 · √15
Üçünü de aynı kök içine yazalım:
= √(6 · 10 · 15) = √900
900 tam kare (30² = 900):
= 30
→ 30
İkinci yol — çarpanlara ayırarak: büyük sayı çarpmak istemiyorsan her sayıyı asal çarpanlarına ayırabilirsin:
6 = 2 · 3
10 = 2 · 5
15 = 3 · 5
Carpim = 2 · 3 · 2 · 5 · 3 · 5
= (2 · 2) · (3 · 3) · (5 · 5)
= 2² · 3² · 5²
√(2² · 3² · 5²) = 2 · 3 · 5 = 30 ✓Bu yol, kök içindeki sayı çok büyük olduğunda çok daha hızlıdır: her çifti bir tane olarak dışarı çıkarırsın.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “√a · √b = √a + √b” gibi işlemleri karıştırmak yanlıştır. Çarpmada kök içleri çarpılır: √a · √b = √(a·b). Toplama için böyle bir kural yoktur (√9 + √16 = 7, √25 = 5 değil).
- “Katsayıyı da kök içine çarpmak.” 2√3 · 4√5 işleminde katsayılar kendi arasında (2 · 4 = 8), kök içleri kendi arasında (3 · 5 = 15) çarpılır: 8√15. Katsayıyı kök içine katmak yanlıştır.
- “√a · √a = √a² diye bırakmak.” Sonuç a'dır. √13 · √13 = 13; √169 diye bırakmak işi yarım bırakmaktır.
- “Sonucu sadeleştirmeyi unutmak.” √50 sonucu 5√2 olarak sadeleştirilmelidir. Kök içindeki en büyük tam kare çarpan dışarı çıkarılır.
- “Katsayıyı kök içine alırken kareye yükseltmemek.” 5√2 = √(5² · 2) = √50'dir; √(5 · 2) = √10 değil. Katsayı kök içine girerken karesi alınır.
- “Bölmede bölüneni ve böleni ters yazmak.” √40 : √8 = √(40 : 8) = √5'tir; √(8 : 40) değil. Sıra korunur.
✏️ Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. √45 ÷ √5 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri bölünür: √a ÷ √b = √(a ÷ b).
√(45 ÷ 5) = √9.
√9 = 3.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 3
Kök içleri bölünür: √a ÷ √b = √(a ÷ b).
√(45 ÷ 5) = √9.
√9 = 3.
2. √180 ÷ √5 işleminin sonucu kaçtır?
Kök içleri bölünür: √a ÷ √b = √(a ÷ b).
√(180 ÷ 5) = √36.
√36 = 6.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 6
Kök içleri bölünür: √a ÷ √b = √(a ÷ b).
√(180 ÷ 5) = √36.
√36 = 6.
3. 4√3 × 3√2 işleminin sonucu hangisidir?
Kök dışındakiler kendi arasında, kök içindekiler kendi arasında çarpılır.
4 × 3 = 12, 3 × 2 = 6.
Sonuç: 12√6.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 12√6
Kök dışındakiler kendi arasında, kök içindekiler kendi arasında çarpılır.
4 × 3 = 12, 3 × 2 = 6.
Sonuç: 12√6.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.