📖 Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 3 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma konu anlatımı
4 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma yalnızca karekök içindeki sayılar aynıysa yapılabilir. O zaman katsayılar toplanır ya da çıkarılır, ortak kareköklü ifade aynen yazılır: a√x + b√x = (a + b)√x. Kök içleri farklıysa ilk iş sadeleştirip ortak kök bulmaya çalışmaktır.
➕ Toplama ve çıkarma kuralı
Kareköklü ifadelerde toplama işlemi yapılırken karekök içindeki sayıları aynı olan toplananların katsayıları toplanır ve sonucun katsayı kısmına yazılır. Ortak kareköklü ifade aynen yazılır.
a√x + b√x = (a + b)√x a√x - b√x = (a - b)√x
Örnekler:
5√3 + 8√3 = (5 + 8)√3 = 13√3 4√5 - 3√5 = (4 - 3)√5 = 1·√5 = √5 8√7 - 2√7 + 6√7 = (8 - 2 + 6)√7 = 12√7
Katsayısı yazılmayan ifadenin katsayısı 1'dir:
√2 + √2 + √2 = 1√2 + 1√2 + 1√2 = 3√2
Bu, tekrarlı toplamanın çarpma olarak yazılmasıdır.
Benzer terim mantığı: bu kural tam olarak cebirsel ifadelerdeki benzer terim kuralıyla aynıdır. 5x + 8x = 13x diyorsak, 5√3 + 8√3 = 13√3 da aynı mantıktır. √3'ü bir "x" gibi düşün.
| Benzer mi? | İşlem yapılabilir mi? |
|---|---|
| 5√3 ve 8√3 | Evet — kök içleri aynı |
| 4√5 ve 3√2 | Hayır — kök içleri farklı |
| 2√7 ve 9√7 | Evet |
| √6 ve √10 | Hayır |
🔧 Kök içleri farklıysa önce sadeleştir
Kök içleri farklı görünse de sadeleştirdikten sonra aynı çıkabilir. Bu yüzden toplama–çıkarmada ilk iş, her ifadeyi a√b biçiminde en sade hâle getirmektir.
Örnek: 3 − √48 + √75 − √300
Önce her kareköklü ifadeyi sadeleştirelim:
√48 = √(16 · 3) = 4√3 √75 = √(25 · 3) = 5√3 √300 = √(100 · 3) = 10√3
Üçünün de kök içi 3 çıktı! Şimdi işlemi yazalım:
3 - 4√3 + 5√3 - 10√3
Katsayıları toplayalım:
3 + (-4 + 5 - 10)√3 3 + (-9)√3 3 - 9√3
Dikkat: 3 sayısı karekök içermediği için √3'lü terimlerle toplanamaz. Sonuç 3 − 9√3 olarak bırakılır.
Sadeleştirme hatırlatması:
| İfade | En büyük tam kare çarpan | Sadeleşmiş |
|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 |
| √12 | 4 | 2√3 |
| √18 | 9 | 3√2 |
| √27 | 9 | 3√3 |
| √50 | 25 | 5√2 |
| √98 | 49 | 7√2 |
Örnek: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. Sadeleştirmeden bakan biri "bunlar toplanamaz" derdi.
⚠️ Çarpmayla karıştırmayın
Toplama ile çarpma kuralları birbirinden tamamen farklıdır. En sık yapılan hata bunları karıştırmaktır.
| İşlem | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpma | Kök içleri çarpılır | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Toplama | Kök içleri aynı olmalı, katsayılar toplanır | √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2 |
Aynı iki sayıyla iki farklı sonuç çıktı: çarpma 4, toplama 3√2 (yaklaşık 4,24).
Kesinlikle yanlış olan kurallar:
YANLIS: √a + √b = √(a + b) YANLIS: √a - √b = √(a - b)
Sayılarla kontrol edelim:
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 √(9 + 16) = √25 = 5 7 ≠ 5 -> kural YANLIS
Karekök, toplama üzerine dağılmaz. Bu, konunun en kritik noktasıdır.
Eksik terimi bulma. Çıkarma işleminde çıkanı bulmak için eksilenden farkı çıkarırız:
5√3 - Δ = 2√3
Δ = 5√3 - 2√3 = (5 - 2)√3 = 3√3
Kontrol: 5√3 − 3√3 = 2√3 ✓
📐 Geometride kullanımı
Toplama–çıkarma en çok çevre hesaplarında karşımıza çıkar.
Örnek 1 — karenin çevresi. Alanı 80 cm² olan bir karenin çevresi kaç cm?
kenar = √80 √80 = √(16 · 5) = 4√5 cm Cevre = 4 · kenar = 4 · 4√5 = 16√5 cm
Örnek 2 — ikizkenar üçgenin çevresi. |AB| = |AC| = 2√2 cm ve |BC| = 3√2 cm olan bir üçgenin çevresi:
Cevre = 2√2 + 2√2 + 3√2 Cevre = (2 + 2 + 3)√2 Cevre = 7√2 cm
Örnek 3 — dikdörtgenin çevresi. Kenarları 4√7 cm ve 3√6 cm olan dikdörtgenin çevresi:
Cevre = 4√7 + 3√6 + 4√7 + 3√6
Değişme özelliğini kullanıp benzerleri yan yana getirelim:
Cevre = (4√7 + 4√7) + (3√6 + 3√6) Cevre = 8√7 + 6√6 cm
Dikkat: √7 ile √6 farklı kök içleri olduğundan bu iki terim toplanamaz. Sonuç 8√7 + 6√6 olarak bırakılır. Tek bir karekök hâline getirmeye çalışmak hatadır.
🧩 Örnekle anlayalım
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
(a) 2√12 + 5√27 − √48
(b) √98 − √50 + √8
(c) 3√20 + 4√5 − √45
(ç) Bir dikdörtgenin kenarları √32 cm ve √18 cm'dir. Çevresi kaç cm'dir?
Çözümü göster
(a) 2√12 + 5√27 − √48
Önce her kareköklü ifadeyi sadeleştirelim:
√12 = √(4 · 3) = 2√3 -> 2√12 = 2 · 2√3 = 4√3 √27 = √(9 · 3) = 3√3 -> 5√27 = 5 · 3√3 = 15√3 √48 = √(16 · 3) = 4√3
Hepsinin kök içi 3 oldu:
4√3 + 15√3 - 4√3 = (4 + 15 - 4)√3 = 15√3
→ 15√3
(b) √98 − √50 + √8
√98 = √(49 · 2) = 7√2 √50 = √(25 · 2) = 5√2 √8 = √(4 · 2) = 2√2
7√2 - 5√2 + 2√2 = (7 - 5 + 2)√2 = 4√2
→ 4√2
(c) 3√20 + 4√5 − √45
√20 = √(4 · 5) = 2√5 -> 3√20 = 3 · 2√5 = 6√5 4√5 zaten sade √45 = √(9 · 5) = 3√5
6√5 + 4√5 - 3√5 = (6 + 4 - 3)√5 = 7√5
→ 7√5
(ç) Dikdörtgenin çevresi.
Önce kenarları sadeleştirelim:
√32 = √(16 · 2) = 4√2 cm √18 = √(9 · 2) = 3√2 cm
İkisinin de kök içi 2 — toplanabilirler!
Cevre = 2 · (uzun kenar + kisa kenar) Cevre = 2 · (4√2 + 3√2) Cevre = 2 · 7√2 Cevre = 14√2 cm
→ 14√2 cm
Not: Kenarlar sadeleştirilmeden bakılsaydı "√32 ile √18 farklı kök içleri, toplanamaz" sanılabilirdi. Sadeleştirme adımı atlanmamalıdır.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “√a + √b = √(a + b)” yanlıştır. Sayılarla kontrol et: √9 + √16 = 7 ama √25 = 5. Karekök toplama üzerine dağılmaz.
- “Kök içleri farklıysa işlem yapılamaz” demek acelecidir. Önce sadeleştirmek gerekir: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
- “Katsayıları değil kök içlerini toplamak.” 5√3 + 8√3 işleminde katsayılar toplanır (13), kök içi aynen kalır: 13√3. 13√6 yazmak yanlıştır.
- “Katsayısız ifadenin katsayısını 0 saymak.” √2'nin katsayısı 1'dir. √2 + √2 = 2√2'dir.
- “Karekök içermeyen sayıyı kareköklü terimle toplamak.” 3 − 9√3 ifadesinde 3 ile 9√3 toplanamaz; sonuç bu hâliyle bırakılır.
- “Toplama kuralını çarpmaya uygulamak.” Çarpmada kök içleri çarpılır (√2 · √8 = 4), toplamada ise kök içlerinin aynı olması gerekir (√2 + √8 = 3√2). İkisi tamamen farklıdır.
- “Farklı kök içlerini zorla birleştirmek.” 8√7 + 6√6 sonucu bu hâliyle bırakılır; tek bir karekök hâline getirilemez.
✏️ Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. √2 − √18 işleminin sonucu hangisidir?
Önce iki kökü de a√b biçimine getiririz.
√2 = √2, √18 = 3√2.
Kök içleri aynı olunca katsayılar toplanır ya da çıkarılır: 1 − 3 = −2.
Sonuç: −2√2.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: −2√2
Önce iki kökü de a√b biçimine getiririz.
√2 = √2, √18 = 3√2.
Kök içleri aynı olunca katsayılar toplanır ya da çıkarılır: 1 − 3 = −2.
Sonuç: −2√2.
2. √2 − √8 işleminin sonucu hangisidir?
Önce iki kökü de a√b biçimine getiririz.
√2 = √2, √8 = 2√2.
Kök içleri aynı olunca katsayılar toplanır ya da çıkarılır: 1 − 2 = −1.
Sonuç: −√2.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: −√2
Önce iki kökü de a√b biçimine getiririz.
√2 = √2, √8 = 2√2.
Kök içleri aynı olunca katsayılar toplanır ya da çıkarılır: 1 − 2 = −1.
Sonuç: −√2.
3. √12 − √48 işleminin sonucu hangisidir?
Önce iki kökü de a√b biçimine getiririz.
√12 = 2√3, √48 = 4√3.
Kök içleri aynı olunca katsayılar toplanır ya da çıkarılır: 2 − 4 = −2.
Sonuç: −2√3.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: −2√3
Önce iki kökü de a√b biçimine getiririz.
√12 = 2√3, √48 = 4√3.
Kök içleri aynı olunca katsayılar toplanır ya da çıkarılır: 2 − 4 = −2.
Sonuç: −2√3.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.