← 2. Ünite: Kareköklü İfadeler / Veri İşleme

📖 Ondalık Gösterimlerin Karekökü

Ondalık Gösterimlerin Karekökü, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 2 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 2 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.

Hemen soru çöz ↓ Konu testi (2 soru, puanlı) Ünite testi Ünitenin bütün konuları

📖 Ondalık Gösterimlerin Karekökü konu anlatımı

3 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik

Ondalık gösterimlerin karekökleri belirlenirken ondalık gösterimler rasyonel sayıya (kesre) çevrilir; sonra payın ve paydanın karekökü ayrı ayrı alınır. Örneğin √0,01 = √(1/100) = 1/10 = 0,1. Virgülün yerine bakarak tahmin yürütmek yanıltıcıdır; kesre çevirmek en güvenli yoldur.

🔢 Yöntem: kesre çevir

Ondalık gösterimin karekökünü bulmak için:

1. adim: Ondalik gosterimi KESRE cevir.
2. adim: Payin ve paydanin karekokunu AYRI AYRI al.
3. adim: Cikan kesri ondalik gosterime cevir.

Örnek 1 — √0,01

0,01 = 1/100

√0,01 = √(1/100) = √1 / √100 = 1/10 = 0,1

Örnek 2 — √0,0036

0,0036 = 36/10 000

√0,0036 = √36 / √10 000 = 6/100 = 0,06

Örnek 3 — √0,64

0,64 = 64/100

√0,64 = √64 / √100 = 8/10 = 0,8

Neden bu yöntem güvenli? Çünkü pay ve payda tam kare sayılar olduğunda karekök kesin olarak hesaplanır. Virgülü sayarak tahmin yürütmek hatalara yol açar.

⚠️ Virgül tuzağı

En sık yapılan hata, karekök alınca virgülün aynı yerde kaldığını sanmaktır.

YANLIS dusunce: √0,64 = 0,8  oldugu icin
                √0,04 = 0,2  olmali ... bu DOGRU
ama
YANLIS dusunce: √0,4 = 0,2    ->  BU YANLIS!

Kontrol edelim:

0,2 · 0,2 = 0,04    (0,4 degil!)

Yani √0,04 = 0,2 doğru ama √0,4 ≠ 0,2'dir.

Kural: karekök alınırken virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner. Bu yüzden karekökü tam çıkan ondalık sayıların virgülden sonra çift sayıda basamağı olmalıdır.

Sayı	Virgülden sonra	Karekökü
0,04	2 basamak	0,2 (1 basamak)
0,64	2 basamak	0,8 (1 basamak)
1,44	2 basamak	1,2 (1 basamak)
2,89	2 basamak	1,7 (1 basamak)
0,0036	4 basamak	0,06 (2 basamak)
0,000121	6 basamak	0,011 (3 basamak)

0,4 neden tam çıkmaz? Kesre çevirelim:

0,4 = 4/10
√0,4 = √4 / √10 = 2/√10

√10 tam kare olmadığı için sonuç irrasyonel çıkar; ondalık olarak yaklaşık 0,632'dir.

Kontrol yöntemi: bulduğun sonucu kendisiyle çarp. Baştaki sayıyı veriyorsa doğrudur:

0,06 · 0,06 = 0,0036  ✓
0,8 · 0,8 = 0,64      ✓

🔁 Devirli ondalık gösterimler

Karekök içindeki sayı devirli ondalık ise de aynı yol izlenir: önce rasyonel sayıya çevirilir.

Devirli ondalığı kesre çevirme hatırlatması:

0,aaa... = a/9
0,ababab... = ab/99

Örnek: √21,7777… (yani 21,7 devirli) değerini bulalım.

Önce devirli kısmı kesre çevirelim:

21,777... = 21 + 0,777...
          = 21 + 7/9
          = (21 · 9 + 7) / 9
          = (189 + 7) / 9
          = 196 / 9

Şimdi karekökünü alalım — 196 ve 9 ikisi de tam kare!

√(196/9) = √196 / √9 = 14/3

Ondalığa çevirelim:

14 : 3 = 4,666... = 4,6 (devirli)

Kontrol:

14/3 · 14/3 = 196/9 = 21,777...  ✓

Dikkat: devirli ondalık gösterimin karekökü de devirli çıkabilir. Sonucu kesir biçiminde bırakmak çoğu zaman daha nettir.

➕ İşlemlerde kullanma

Ondalık karekökleri bulup toplama, çıkarma, çarpma işlemlerine sokabiliriz.

Örnek 1 — toplama. √0,64 + √1,21 işleminin sonucu nedir?

Her karekökü ayrı ayrı bulalım:

√0,64 = √(64/100) = 8/10 = 0,8
√1,21 = √(121/100) = 11/10 = 1,1

Toplayalım:

0,8 + 1,1 = 1,9

Örnek 2 — çevre ve kenar bulma. Bir dikdörtgenin uzun kenarı √0,81 cm, çevresi 2,6 cm. Kısa kenar kaç cm?

Önce uzun kenarı hesaplayalım:

0,81 = 81/100
√0,81 = √81 / √100 = 9/10 = 0,9 cm

Dikdörtgenin çevresi iki ardışık kenarın toplamının 2 katıdır:

Cevre = 2 · (uzun + kisa)
 2,6 = 2 · (0,9 + kisa)

Her iki tarafı 2'ye bölelim:

1,3 = 0,9 + kisa
kisa = 1,3 - 0,9
kisa = 0,4 cm

Kontrol: 2 · (0,9 + 0,4) = 2 · 1,3 = 2,6 ✓

Hesap makinesiyle kontrol: karekök tuşu (√) bulunan bir hesap makinesinde ekrana 0,04 yazıp √ tuşuna basarsan 0,2 görürsün. Bu, elle bulduğun sonucu doğrulamanın hızlı yoludur.

🧩 Örnekle anlayalım

(a) √1,44 değerini bulunuz. (b) √0,000049 değerini bulunuz. (c) √2,25 − √0,09 işleminin sonucunu bulunuz. (ç) Alanı 0,16 m² olan bir karenin çevresi kaç metredir?

Çözümü göster

(a) √1,44

Kesre çevirelim:

1,44 = 144/100

Pay ve paydanın karekökünü ayrı ayrı alalım — ikisi de tam kare:

√144 = 12
√100 = 10

√1,44 = 12/10 = 1,2

Kontrol: 1,2 · 1,2 = 1,44 ✓

→ 1,2

(b) √0,000049

Virgülden sonra 6 basamak var; karekökte 3 basamak olmasını bekleriz.

0,000049 = 49/1 000 000

√49 = 7
√1 000 000 = 1000

√0,000049 = 7/1000 = 0,007

Kontrol: 0,007 · 0,007 = 0,000049 ✓

→ 0,007

(c) √2,25 − √0,09

Her karekökü ayrı ayrı bulalım:

2,25 = 225/100
√2,25 = √225 / √100 = 15/10 = 1,5

0,09 = 9/100
√0,09 = √9 / √100 = 3/10 = 0,3

Çıkaralım:

1,5 - 0,3 = 1,2

→ 1,2

Dikkat: √2,25 − √0,09 ile √(2,25 − 0,09) aynı şey değildir. İkincisi √2,16 olur ki bu tam çıkmaz. Karekök çıkarma üzerine dağılmaz.

(ç) Karenin çevresi.

Karenin alanı kenarının karesine eşit olduğundan kenar, alanın kareköküdür:

Alan = 0,16 m²
kenar = √0,16

Kesre çevirelim:

0,16 = 16/100
√0,16 = √16 / √100 = 4/10 = 0,4 m

Karenin çevresi kenarının 4 katıdır:

Cevre = 4 · 0,4 = 1,6 m

Kontrol: kenar 0,4 m ise alan 0,4 · 0,4 = 0,16 m² ✓

→ Çevre 1,6 metre

⚠️ Sık yapılan hatalar

“Karekök alınca virgül yerinde kalır” yanlıştır. Virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner: √0,0036 = 0,06 (4 basamak → 2 basamak).
“√0,4 = 0,2'dir” yanlıştır. 0,2 · 0,2 = 0,04'tür. √0,4 irrasyonel bir sayıdır (yaklaşık 0,632). Karekökü tam çıkacak sayının virgülden sonra çift sayıda basamağı olmalıdır.
“Kesre çevirmeden doğrudan karekök almak.” Güvenli yol önce kesre çevirip pay ve paydanın karekökünü ayrı ayrı almaktır. Tahminle gitmek hataya açıktır.
“√a − √b = √(a − b)” yanlıştır. √2,25 − √0,09 = 1,5 − 0,3 = 1,2'dir; √2,16 değil. Karekök toplama ve çıkarma üzerine dağılmaz.
“Devirli ondalığın karekökü doğrudan alınır” yanlıştır. Önce rasyonel sayıya (kesre) çevrilmelidir: 21,777… = 196/9, karekökü 14/3.
“Sonucu kontrol etmemek.” Bulduğun sonucu kendisiyle çarpmak en hızlı kontrol yoludur: 0,06 · 0,06 = 0,0036 ✓

💡 Aklında kalsın: Ondalık gösterimin karekökü: önce kesre çevir, sonra payın ve paydanın karekökünü ayrı ayrı al. √0,0036 = √36/√10 000 = 6/100 = 0,06. Karekök alınırken virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner; bu yüzden karekökü tam çıkan sayının virgülden sonra çift sayıda basamağı vardır. Devirli ondalıklar da önce kesre çevrilir. Sonuç, kendisiyle çarpılarak kontrol edilir.

Anladım, konu testini çöz ►