📖 Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 100 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 8 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma konu anlatımı
4 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma yalnızca karekök içindeki sayılar aynıysa yapılabilir. O zaman katsayılar toplanır ya da çıkarılır, ortak kareköklü ifade aynen yazılır: a√x + b√x = (a + b)√x. Kök içleri farklıysa ilk iş sadeleştirip ortak kök bulmaya çalışmaktır.
➕ Toplama ve çıkarma kuralı
Kareköklü ifadelerde toplama işlemi yapılırken karekök içindeki sayıları aynı olan toplananların katsayıları toplanır ve sonucun katsayı kısmına yazılır. Ortak kareköklü ifade aynen yazılır.
a√x + b√x = (a + b)√x a√x - b√x = (a - b)√x
Örnekler:
5√3 + 8√3 = (5 + 8)√3 = 13√3 4√5 - 3√5 = (4 - 3)√5 = 1·√5 = √5 8√7 - 2√7 + 6√7 = (8 - 2 + 6)√7 = 12√7
Katsayısı yazılmayan ifadenin katsayısı 1'dir:
√2 + √2 + √2 = 1√2 + 1√2 + 1√2 = 3√2
Bu, tekrarlı toplamanın çarpma olarak yazılmasıdır.
Benzer terim mantığı: bu kural tam olarak cebirsel ifadelerdeki benzer terim kuralıyla aynıdır. 5x + 8x = 13x diyorsak, 5√3 + 8√3 = 13√3 da aynı mantıktır. √3'ü bir "x" gibi düşün.
| Benzer mi? | İşlem yapılabilir mi? |
|---|---|
| 5√3 ve 8√3 | Evet — kök içleri aynı |
| 4√5 ve 3√2 | Hayır — kök içleri farklı |
| 2√7 ve 9√7 | Evet |
| √6 ve √10 | Hayır |
🔧 Kök içleri farklıysa önce sadeleştir
Kök içleri farklı görünse de sadeleştirdikten sonra aynı çıkabilir. Bu yüzden toplama–çıkarmada ilk iş, her ifadeyi a√b biçiminde en sade hâle getirmektir.
Örnek: 3 − √48 + √75 − √300
Önce her kareköklü ifadeyi sadeleştirelim:
√48 = √(16 · 3) = 4√3 √75 = √(25 · 3) = 5√3 √300 = √(100 · 3) = 10√3
Üçünün de kök içi 3 çıktı! Şimdi işlemi yazalım:
3 - 4√3 + 5√3 - 10√3
Katsayıları toplayalım:
3 + (-4 + 5 - 10)√3 3 + (-9)√3 3 - 9√3
Dikkat: 3 sayısı karekök içermediği için √3'lü terimlerle toplanamaz. Sonuç 3 − 9√3 olarak bırakılır.
Sadeleştirme hatırlatması:
| İfade | En büyük tam kare çarpan | Sadeleşmiş |
|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 |
| √12 | 4 | 2√3 |
| √18 | 9 | 3√2 |
| √27 | 9 | 3√3 |
| √50 | 25 | 5√2 |
| √98 | 49 | 7√2 |
Örnek: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. Sadeleştirmeden bakan biri "bunlar toplanamaz" derdi.
⚠️ Çarpmayla karıştırmayın
Toplama ile çarpma kuralları birbirinden tamamen farklıdır. En sık yapılan hata bunları karıştırmaktır.
| İşlem | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpma | Kök içleri çarpılır | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Toplama | Kök içleri aynı olmalı, katsayılar toplanır | √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2 |
Aynı iki sayıyla iki farklı sonuç çıktı: çarpma 4, toplama 3√2 (yaklaşık 4,24).
Kesinlikle yanlış olan kurallar:
YANLIS: √a + √b = √(a + b) YANLIS: √a - √b = √(a - b)
Sayılarla kontrol edelim:
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 √(9 + 16) = √25 = 5 7 ≠ 5 -> kural YANLIS
Karekök, toplama üzerine dağılmaz. Bu, konunun en kritik noktasıdır.
Eksik terimi bulma. Çıkarma işleminde çıkanı bulmak için eksilenden farkı çıkarırız:
5√3 - Δ = 2√3
Δ = 5√3 - 2√3 = (5 - 2)√3 = 3√3
Kontrol: 5√3 − 3√3 = 2√3 ✓
📐 Geometride kullanımı
Toplama–çıkarma en çok çevre hesaplarında karşımıza çıkar.
Örnek 1 — karenin çevresi. Alanı 80 cm² olan bir karenin çevresi kaç cm?
kenar = √80 √80 = √(16 · 5) = 4√5 cm Cevre = 4 · kenar = 4 · 4√5 = 16√5 cm
Örnek 2 — ikizkenar üçgenin çevresi. |AB| = |AC| = 2√2 cm ve |BC| = 3√2 cm olan bir üçgenin çevresi:
Cevre = 2√2 + 2√2 + 3√2 Cevre = (2 + 2 + 3)√2 Cevre = 7√2 cm
Örnek 3 — dikdörtgenin çevresi. Kenarları 4√7 cm ve 3√6 cm olan dikdörtgenin çevresi:
Cevre = 4√7 + 3√6 + 4√7 + 3√6
Değişme özelliğini kullanıp benzerleri yan yana getirelim:
Cevre = (4√7 + 4√7) + (3√6 + 3√6) Cevre = 8√7 + 6√6 cm
Dikkat: √7 ile √6 farklı kök içleri olduğundan bu iki terim toplanamaz. Sonuç 8√7 + 6√6 olarak bırakılır. Tek bir karekök hâline getirmeye çalışmak hatadır.
🧩 Örnekle anlayalım
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
(a) 2√12 + 5√27 − √48
(b) √98 − √50 + √8
(c) 3√20 + 4√5 − √45
(ç) Bir dikdörtgenin kenarları √32 cm ve √18 cm'dir. Çevresi kaç cm'dir?
Çözümü göster
(a) 2√12 + 5√27 − √48
Önce her kareköklü ifadeyi sadeleştirelim:
√12 = √(4 · 3) = 2√3 -> 2√12 = 2 · 2√3 = 4√3 √27 = √(9 · 3) = 3√3 -> 5√27 = 5 · 3√3 = 15√3 √48 = √(16 · 3) = 4√3
Hepsinin kök içi 3 oldu:
4√3 + 15√3 - 4√3 = (4 + 15 - 4)√3 = 15√3
→ 15√3
(b) √98 − √50 + √8
√98 = √(49 · 2) = 7√2 √50 = √(25 · 2) = 5√2 √8 = √(4 · 2) = 2√2
7√2 - 5√2 + 2√2 = (7 - 5 + 2)√2 = 4√2
→ 4√2
(c) 3√20 + 4√5 − √45
√20 = √(4 · 5) = 2√5 -> 3√20 = 3 · 2√5 = 6√5 4√5 zaten sade √45 = √(9 · 5) = 3√5
6√5 + 4√5 - 3√5 = (6 + 4 - 3)√5 = 7√5
→ 7√5
(ç) Dikdörtgenin çevresi.
Önce kenarları sadeleştirelim:
√32 = √(16 · 2) = 4√2 cm √18 = √(9 · 2) = 3√2 cm
İkisinin de kök içi 2 — toplanabilirler!
Cevre = 2 · (uzun kenar + kisa kenar) Cevre = 2 · (4√2 + 3√2) Cevre = 2 · 7√2 Cevre = 14√2 cm
→ 14√2 cm
Not: Kenarlar sadeleştirilmeden bakılsaydı "√32 ile √18 farklı kök içleri, toplanamaz" sanılabilirdi. Sadeleştirme adımı atlanmamalıdır.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “√a + √b = √(a + b)” yanlıştır. Sayılarla kontrol et: √9 + √16 = 7 ama √25 = 5. Karekök toplama üzerine dağılmaz.
- “Kök içleri farklıysa işlem yapılamaz” demek acelecidir. Önce sadeleştirmek gerekir: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
- “Katsayıları değil kök içlerini toplamak.” 5√3 + 8√3 işleminde katsayılar toplanır (13), kök içi aynen kalır: 13√3. 13√6 yazmak yanlıştır.
- “Katsayısız ifadenin katsayısını 0 saymak.” √2'nin katsayısı 1'dir. √2 + √2 = 2√2'dir.
- “Karekök içermeyen sayıyı kareköklü terimle toplamak.” 3 − 9√3 ifadesinde 3 ile 9√3 toplanamaz; sonuç bu hâliyle bırakılır.
- “Toplama kuralını çarpmaya uygulamak.” Çarpmada kök içleri çarpılır (√2 · √8 = 4), toplamada ise kök içlerinin aynı olması gerekir (√2 + √8 = 3√2). İkisi tamamen farklıdır.
- “Farklı kök içlerini zorla birleştirmek.” 8√7 + 6√6 sonucu bu hâliyle bırakılır; tek bir karekök hâline getirilemez.
✏️ Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. Kareköklü ifadelerde toplama hangi koşulda yapılabilir?
Katsayılar toplanır.
Koşul kök içlerinin aynı olmasıdır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Kök içleri aynı olduğunda
Katsayılar toplanır.
Koşul kök içlerinin aynı olmasıdır.
2. Kök iki ile kök sekizin çarpımı nedir?
Kök içleri çarpılır.
Sonuç dörttür.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Dört
Kök içleri çarpılır.
Sonuç dörttür.
3. Eksik terimi bulmak için çıkarma işleminde hangi yol izlenir?
Sonuç kontrol edilir.
İzlenen yol bu çıkarmadır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Eksilenden farkın çıkarılması
Sonuç kontrol edilir.
İzlenen yol bu çıkarmadır.
4. Çevre hesaplarında kareköklü toplamanın işe yaramasının nedeni nedir?
Alanı seksen olan kare örnektir.
Neden bu olabilmedir.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Kenarların kareköklü olabilmesi
Alanı seksen olan kare örnektir.
Neden bu olabilmedir.
5. Katsayısı yazılmayan bir kareköklü ifadenin katsayısı sorulmaktadır. Bu katsayı hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Katsayısı yazılmayan kareköklü ifadenin katsayısı birdir.
Bu nedenle kök iki artı kök iki toplamı iki kök iki olur.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 1
Katsayısı yazılmayan kareköklü ifadenin katsayısı birdir.
Bu nedenle kök iki artı kök iki toplamı iki kök iki olur.
6. Karekök içermeyen bir sayının kareköklü bir terimle toplanıp toplanamayacağı sorulmaktadır. Bu konuda doğru bilgi hangisidir?
Karekök içermeyen sayı kareköklü terimle benzer değildir.
Bu nedenle üç eksi dokuz kök üç ifadesi bu hâliyle bırakılır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Toplanamaz
Karekök içermeyen sayı kareköklü terimle benzer değildir.
Bu nedenle üç eksi dokuz kök üç ifadesi bu hâliyle bırakılır.
7. Kenarları 4√7 santimetre ve 3√6 santimetre olan bir dikdörtgenin çevresi sorulmaktadır. Bu çevre hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Karşılıklı kenarlar toplanınca sekiz kök yedi ve altı kök altı bulunur.
Kök içleri farklı olduğu için bu iki terim toplanamaz ve sonuç bu hâliyle bırakılır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 6√6 + 8√7
Karşılıklı kenarlar toplanınca sekiz kök yedi ve altı kök altı bulunur.
Kök içleri farklı olduğu için bu iki terim toplanamaz ve sonuç bu hâliyle bırakılır.
8. √75 eksi √12 işlemi yapılmaktadır. Bu işlemin sonucu hangi seçenekte doğru verilmiştir?
Kök yetmiş beş beş kök üç, kök on iki iki kök üç olarak sadeleşir.
Katsayılar çıkarılınca üç kök üç bulunur.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 3√3
Kök yetmiş beş beş kök üç, kök on iki iki kök üç olarak sadeleşir.
Katsayılar çıkarılınca üç kök üç bulunur.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.