📖 Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar
Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar, 8. Sınıf Matematik dersinin 2. ünitesi "Kareköklü İfadeler / Veri İşleme" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 100 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 8 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar konu anlatımı
5 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Bir kareköklü ifadeyi hangi sayıyla çarparsak sonuç doğal sayı olur? Yöntem şu: ifadeyi önce a√b biçiminde sadeleştir; sonucun doğal sayı olması için çarpanın karekök kısmı √b'nin katı olmalıdır. Çünkü √b · √b = b olur ve karekök kaybolur. Kısaca: kök içi aynı kalan ifadelerle çarpılırsa sonuç doğal sayı çıkar.
🔑 Temel fikir
Karekökten kurtulmanın tek yolu, aynı karekökle çarpmaktır:
√b · √b = b (dogal sayi)
Buradan genel kural çıkar: √b içeren bir ifade, kök içi b olan başka bir ifadeyle çarpıldığında sonuç doğal sayı olur.
√12'yi deneyelim:
√12 · √12 = 12 -> DOGAL SAYI ✓ √12 · √3 = √36 = 6 -> DOGAL SAYI ✓ √12 · 3√3 = 3 · 6 = 18 -> DOGAL SAYI ✓ √12 · √75 = √900 = 30 -> DOGAL SAYI ✓ √12 · √2 = √24 -> dogal sayi DEGIL ✗ √12 · √6 = √72 -> dogal sayi DEGIL ✗
İşe yarayan çarpanların ortak yanı ne? Hepsini sadeleştirelim:
√12 = 2√3 √3 = √3 3√3 = 3√3 √75 = 5√3
Hepsinin kök içi 3! İşte sır burada: √12'nin sade hâli 2√3 olduğu için, kök içi 3 olan her ifade onunla çarpıldığında karekök kaybolur.
🛠️ Çözüm yöntemi
1. adim: Verilen ifadeyi a√b bicimine sadelestir.
2. adim: Kok icindeki b sayisini belirle.
3. adim: Secenekleri de a√b bicimine sadelestir.
4. adim: Kok ici b olanlar sonucu dogal sayi yapar;
olmayanlar yapmaz.Örnek: √32 hangi sayıyla çarpılırsa sonuç doğal sayı olmaz?
A) √2 B) 7√2 C) √32 D) 2
1. adım — √32'yi sadeleştir:
32 = 16 · 2 √32 = √(16 · 2) = 4√2
2. adım — kök içi: 2
3. adım — seçenekleri kontrol et:
| Seçenek | Kök içi | Çarpım | Doğal sayı mı? |
|---|---|---|---|
| √2 | 2 ✓ | 4√2 · √2 = 4 · 2 = 8 | Evet |
| 7√2 | 2 ✓ | 4√2 · 7√2 = 28 · 2 = 56 | Evet |
| √32 | 2 ✓ | 4√2 · 4√2 = 16 · 2 = 32 | Evet |
| 2 | karekök yok ✗ | 4√2 · 2 = 8√2 | Hayır |
→ Cevap: D) 2 ile çarpıldığında karekök yerinde kalır, sonuç doğal sayı olmaz.
Önemli ayrım: 2 ile √2 çok farklıdır. Doğal sayı olan 2, kareköklü ifadeyi yalnızca büyütür, kökten kurtarmaz.
📋 Örnek bir tablo
√75 sayısını farklı sayılarla çarpalım. Önce sadeleştirelim:
√75 = √(25 · 3) = 5√3 -> kok ici: 3
| Çarpan | Çarpanın sade hâli | İşlem | Sonuç | Doğal sayı mı? |
|---|---|---|---|---|
| √75 | 5√3 | 5√3 · 5√3 = 25 · 3 | 75 | Evet |
| √3 | √3 | 5√3 · √3 = 5 · 3 | 15 | Evet |
| 2√5 | 2√5 | 5√3 · 2√5 = 10√15 | 10√15 | Hayır |
| 4√3 | 4√3 | 5√3 · 4√3 = 20 · 3 | 60 | Evet |
| 5 | 5 (kök yok) | 5√3 · 5 = 25√3 | 25√3 | Hayır |
Kural doğrulandı: kök içi 3 olanlar (√75, √3, 4√3) sonucu doğal sayı yaptı; kök içi farklı olan (2√5) ya da hiç karekök içermeyen (5) yapmadı.
En küçük çarpanı bulma: "√75'i doğal sayı yapan en küçük doğal sayı çarpan kaçtır?" diye sorulursa:
√75 = 5√3 En kucuk cozum: √3 ile carpmak 5√3 · √3 = 15
Ama "kök içinde en küçük" isteniyorsa cevap 3'tür (√3 biçiminde).
📐 Geometride kullanımı
Bu konu, kenarları kareköklü olan şekillerin alanının doğal sayı olup olmadığını anlamakta kullanılır.
Alanı doğal sayı olan dikdörtgeni işlem yapmadan bulabiliriz: kenarlarının kök içleri aynı olana bakarız.
| Dikdörtgen | Kenarlar | Sade hâlleri | Kök içleri | Alan |
|---|---|---|---|---|
| ABCD | 3 ve √32 | 3 ve 4√2 | kök yok, 2 | 12√2 (doğal değil) |
| KLMN | √32 ve 15√3 | 4√2 ve 15√3 | 2 ve 3 | 60√6 (doğal değil) |
| PRST | √32 ve 2√5 | 4√2 ve 2√5 | 2 ve 5 | 8√10 (doğal değil) |
| — | √32 ve √2 | 4√2 ve √2 | 2 ve 2 ✓ | 8 (doğal sayı) |
Son satırdaki gibi kök içleri eşit olan kenarların çarpımı doğal sayı verir.
Hızlı karar verme:
Iki kareköklu ifadenin carpimi dogal sayi mi?
-> Ikisini de a√b bicimine sadelestir
-> Kok icleri AYNI mi? Evet -> dogal sayi
Hayir -> dogal sayi degilBir uyarı: kök içleri farklı olsa da çarpımları tam kare olursa sonuç yine doğal sayı çıkar:
√2 · √8 = √16 = 4 (kok icleri 2 ve 8, farkli!)
Ama √8 = 2√2 olduğundan sade hâlde ikisinin kök içi de 2'dir. Yani sadeleştirince kural her zaman tutar — bu yüzden sadeleştirme adımı atlanmamalıdır.
🧩 Örnekle anlayalım
(a) √18 sayısı aşağıdakilerden hangileriyle çarpıldığında sonuç doğal sayı olur? I. √2 II. 3 III. √8 IV. √50 V. √6
(b) Kenarları √45 cm ve √20 cm olan bir dikdörtgenin alanı doğal sayı mıdır? Alanı bulunuz.
(c) √27 · Δ = 18 ise Δ kaçtır?
Çözümü göster
(a) √18'i sadeleştirelim.
18 = 9 · 2 √18 = √(9 · 2) = 3√2 -> kok ici: 2
Şimdi her seçeneği sadeleştirip kök içine bakalım:
I. √2 → kök içi 2 ✓
3√2 · √2 = 3 · 2 = 6 -> DOGAL SAYI
II. 3 → karekök yok ✗
3√2 · 3 = 9√2 -> dogal sayi DEGIL
III. √8 → √8 = √(4·2) = 2√2, kök içi 2 ✓
3√2 · 2√2 = 6 · 2 = 12 -> DOGAL SAYI
IV. √50 → √50 = √(25·2) = 5√2, kök içi 2 ✓
3√2 · 5√2 = 15 · 2 = 30 -> DOGAL SAYI
V. √6 → kök içi 6 ✗ (sadeleşmez)
3√2 · √6 = 3√12 = 3 · 2√3 = 6√3 -> dogal sayi DEGIL
→ Cevap: I, III ve IV
(b) Dikdörtgenin alanı. Önce kenarları sadeleştirelim:
√45 = √(9 · 5) = 3√5 -> kok ici: 5 √20 = √(4 · 5) = 2√5 -> kok ici: 5
Kök içleri aynı (5) → alan doğal sayı olur.
A = 3√5 · 2√5 A = (3 · 2) · (√5 · √5) A = 6 · 5 A = 30 cm²
→ Alan 30 cm², bir doğal sayıdır.
(c) √27 · Δ = 18
Önce √27'yi sadeleştirelim:
√27 = √(9 · 3) = 3√3
Denklemi yazalım:
3√3 · Δ = 18
Her iki tarafı 3'e bölelim:
√3 · Δ = 6
Sonucun doğal sayı olması için Δ'nın kök içi 3 olmalı. Δ = k√3 diyelim:
√3 · k√3 = k · 3 = 6
3k = 6
k = 2→ Δ = 2√3
Kontrol: 3√3 · 2√3 = 6 · 3 = 18 ✓
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Doğal sayıyla çarpmak karekökten kurtarır” yanlıştır. 4√2 · 2 = 8√2'dir, karekök yerinde kalır. Kökten kurtarmak için aynı kök içeren bir ifadeyle çarpmak gerekir.
- “2 ile √2 aynı şeydir” yanlıştır. 2 bir doğal sayıdır, √2 irrasyonel bir sayıdır. Yalnızca √2 ile çarpmak √2'yi 2'ye dönüştürür.
- “Kök içleri farklıysa sonuç kesinlikle doğal sayı olmaz” eksiktir. Önce sadeleştirmek gerekir: √2 · √8 görünüşte farklı ama √8 = 2√2 olduğundan sonuç 4 çıkar.
- “Sadeleştirmeden karar vermek.” √32, √2 ve √50 görünüşte farklı sayılardır ama sade hâllerinde hepsinin kök içi 2'dir. Sadeleştirme adımı zorunludur.
- “Katsayıyı hesaba katmamak.” Sonucun doğal sayı olup olmadığını kök içi belirler, ama sonucun kaç olduğunu katsayılar da belirler: 3√2 · 5√2 = 15 · 2 = 30.
✏️ Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. Kareköklü bir ifadede kökten kurtulmanın tek yolu nedir?
Kök kendisiyle çarpılınca kaybolur.
Tek yol aynı karekökle çarpmaktır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Aynı karekökle çarpmak
Kök kendisiyle çarpılınca kaybolur.
Tek yol aynı karekökle çarpmaktır.
2. Bir derste kök on iki ile kök iki çarpılırsa sonuç nasıl bir sayıdır?
Kök yirmi dört bulunur.
Sonuç doğal sayı değildir.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Doğal sayı değildir
Kök yirmi dört bulunur.
Sonuç doğal sayı değildir.
3. Kenarları üç ve kök otuz iki olan dikdörtgenin alanı nedir?
Doğal sayı kökü kaldırmaz.
Alan on iki kök ikidir.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: On iki kök iki
Doğal sayı kökü kaldırmaz.
Alan on iki kök ikidir.
4. Kenarlardan birinin köksüz olmasının alanı etkilemesindeki yol nedir?
Üç ile dört kök iki örnektir.
Yol bu yerinde kalmadır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: Kökün yerinde kalması
Üç ile dört kök iki örnektir.
Yol bu yerinde kalmadır.
5. √12 ifadesinin sade biçimi sorulmaktadır. Bu biçim hangi seçenekte doğru verilmiştir?
12 sayısı 4 çarpı 3 biçiminde yazılır.
4 sayısı kökten çıkarak 2 olur ve sonuç 2 kök 3 bulunur.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 2√3
12 sayısı 4 çarpı 3 biçiminde yazılır.
4 sayısı kökten çıkarak 2 olur ve sonuç 2 kök 3 bulunur.
6. √75 ile √3 çarpımının sonucu sorulmaktadır. Bu sonuç hangi seçenekte doğru verilmiştir?
75 sayısı sadeleştirilince 5 kök 3 bulunur.
5 kök 3 ile kök 3 çarpılınca 5 çarpı 3 işlemiyle 15 bulunur.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 15
75 sayısı sadeleştirilince 5 kök 3 bulunur.
5 kök 3 ile kök 3 çarpılınca 5 çarpı 3 işlemiyle 15 bulunur.
7. √18 ifadesi √50 ile çarpılmaktadır. Bu çarpımın sonucu hangi seçenektedir?
18 sayısı 3 kök 2, 50 sayısı 5 kök 2 biçiminde sadeleşir.
3 kök 2 ile 5 kök 2 çarpılınca 15 çarpı 2 işlemiyle 30 bulunur.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 30
18 sayısı 3 kök 2, 50 sayısı 5 kök 2 biçiminde sadeleşir.
3 kök 2 ile 5 kök 2 çarpılınca 15 çarpı 2 işlemiyle 30 bulunur.
8. √12 ifadesinin kendisiyle çarpımı ile √3 ile çarpımı karşılaştırılmaktadır. Bu karşılaştırma hangi seçenektedir?
12 sayısının kendisiyle çarpımı 12, kök 3 ile çarpımı 6 bulunur.
İkisinin de kök içi aynı olduğu için sonuçlar doğal sayıdır.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: İkisi de doğal sayıdır
12 sayısının kendisiyle çarpımı 12, kök 3 ile çarpımı 6 bulunur.
İkisinin de kök içi aynı olduğu için sonuçlar doğal sayıdır.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.