📖 Olası Durumlar
Olası Durumlar, 8. Sınıf Matematik dersinin 3. ünitesi "Olasılık / Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler" içindeki konulardan biri. Ünite oyununda bu konudan 3 soru var. Aşağıda kısa konu anlatımı ve çözümlü 3 örnek soru bulursun. Soruları hemen çözebilirsin — üyelik gerekmez.
📖 Olası Durumlar konu anlatımı
6 dakikada okunur · 8. Sınıf Matematik
Bir olayın muhtemel olan tüm sonuçlarına olası durum denir. Olası durumların her bir elemanına çıktı, gerçekleşmesi istenen durumlara olay denir. Aynı deney için neyle ilgilendiğimize göre olası durumlar değişir: bir sınıftan öğrenci seçerken cinsiyetle ilgilenirsek 2, kim olduğuyla ilgilenirsek mevcut kadar olası durum vardır.
🎯 Üç temel kavram
- Olası durum: bir olayın muhtemel olan tüm sonuçları.
- Çıktı: olası durumların her bir elemanı.
- Olay: gerçekleşmesi istenen durumlar.
Basit örneklerle görelim:
| Deney | Olası durumlar | Olası durum sayısı |
|---|---|---|
| Madenî para atma | yazı, tura | 2 |
| Sayı küpü (zar) atma | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 6 |
| Futbol maçı sonucu | kazanmak, kaybetmek, berabere kalmak | 3 |
| 2 muz, 3 elma, 4 armuttan birini seçme | 9 meyvenin her biri | 9 |
| 5 şehirden birine gitme | 5 şehrin her biri | 5 |
Olay ile olası durum arasındaki fark: "İSTANBUL" kelimesinin harfleri kartlara yazılıp torbaya atılsın.
Olasi durumlar : I, S, T, A, N, B, U, L -> 8 cikti Olay : "Cekilen kartin sesli harf olmasi" Olayin ciktilari: I, A, U -> 3 cikti
Yani olay, olası durumların bir bölümüdür — bizim ilgilendiğimiz bölüm.
🔄 Neyle ilgileniyoruz?
Çok önemli bir nokta: aynı deneyde, neyle ilgilendiğimize göre olası durumlar değişir.
Bir sınıfta 15 kız, 18 erkek öğrenci olsun. Rastgele bir öğrenci seçelim.
| Neyle ilgileniyoruz? | Olası durumlar | Sayı |
|---|---|---|
| Öğrencinin cinsiyeti | kız, erkek | 2 |
| Öğrencinin gözlüklü olup olmadığı | gözlüklü, gözlüksüz | 2 |
| Öğrencinin kim olduğu | 33 öğrencinin her biri | 33 |
Üçü de aynı deney (bir öğrenci seçmek) ama olası durum sayıları farklı. Çünkü sorduğumuz soru farklı.
Bu yüzden olası durumları yazmadan önce sorunun neyi sorduğunu belirlemek gerekir. "Kaç farklı seçim yapabilir?" sorusu nesnelerin kendisini, "kaç farklı renk gelebilir?" sorusu renkleri sayar.
Olası durum olmayanları ayırt etmek: "Kastamonu'dan Ege Bölgesi'ndeki bir şehre gidecek biri hangi şehirlere gidebilir?" sorusunda:
Olasi durumlar : Izmir, Mugla, Aydin, Manisa, Denizli ✓
(Ege Bolgesi sehirleri)
Olasi DEGIL : Antalya (Akdeniz), Gaziantep (Guneydogu),
Istanbul (Marmara), Eskisehir (Ic Anadolu)Şartı sağlamayan durumlar olası durum değildir.
⚖️ İhtimalleri karşılaştırma
Olasılık değeri hesaplamadan da hangi durumun daha olası olduğunu söyleyebiliriz: çıktı sayılarına bakarız.
Cikti sayisi FAZLA olanin ihtimali DAHA FAZLA Cikti sayilari ESIT olanlarin ihtimalleri ESIT Cikti sayisi AZ olanin ihtimali DAHA AZ
Örnek: Bir kovada 18 levrek ve 23 somon balığı var. Rastgele alınan bir balığın levrek olma ihtimali ile somon olma ihtimalini karşılaştıralım.
18 < 23
→ Levrek olma ihtimali, somon olma ihtimalinden daha azdır.
Torba karşılaştırmaları:
| Torbanın içeriği | Mavi olma ihtimali | Turuncu olma ihtimali |
|---|---|---|
| Mavi sayısı fazla | Daha fazla | Daha az |
| Mavi ile turuncu eşit | Eşit | Eşit |
| Mavi sayısı az | Daha az | Daha fazla |
Alıştırmalar:
8 siyah, 5 kahverengi ayakkabi
-> kahverengi olma ihtimali DAHA AZDIR (5 < 8)
25 kirmizi, 22 yesil biber
-> kirmizi olma ihtimali yesilden DAHA FAZLADIR (25 > 22)
1'den 10'a kartlar: tek sayilar {1,3,5,7,9} -> 5 tane
cift sayilar {2,4,6,8,10} -> 5 tane
-> tek olma ihtimali ile cift olma ihtimali ESITTIR 🔧 İhtimalleri eşitlemek
Bazı sorularda ihtimalleri eşit hâle getirmek istenir. Yöntem: çıktı sayılarını eşitlemek.
Örnek: Bir ofiste 4 kırmızı ve 6 mavi koltuk var. Oturulacak koltuğun kırmızı olma olasılığı ile mavi olma olasılığı eşit olsun istiyoruz. Hangi renkten kaç koltuk çıkarılmalı?
Kirmizi: 4, Mavi: 6 Esitlemek icin az olana inmeliyiz (cikarma yapiyoruz): hedef = 4 Maviden cikarilacak: 6 - 4 = 2 koltuk
→ 2 mavi koltuk çıkarılmalıdır. Son durumda 4 kırmızı, 4 mavi olur ve ihtimaller eşitlenir.
Daha zorlu bir örnek: Bir torbada 13 mavi, 9 beyaz, 10 yeşil ve 14 kırmızı misket var. En az kaç misket çıkarılırsa kalan misketlerin renklerine göre çekilme olasılıkları eşit olur?
En az olan renk: beyaz (9 tane) Hepsini 9'a indirelim: mavi : 13 - 9 = 4 cikarilir beyaz : 9 - 9 = 0 cikarilir yesil : 10 - 9 = 1 cikarilir kirmizi : 14 - 9 = 5 cikarilir Toplam cikarilan = 4 + 0 + 1 + 5 = 10 misket
→ En az 10 misket çıkarılmalıdır. Kalan: 9 + 9 + 9 + 9 = 36 misket, her renkten 9 tane.
Neden en az olana iniyoruz? Çünkü yalnızca çıkarma yapabiliyoruz; ekleyemiyoruz. En az sayıdaki renk neyse hedef o sayı olur. "Ekleme yapılabilir" denirse en çok olana yükseltmek de bir çözümdür.
🧩 Örnekle anlayalım
Bir kutuda 8 kırmızı ve 5 yeşil kalem vardır. (a) Kutudan rastgele bir kalem seçilmesiyle ilgili olası durum sayısı kaçtır? (b) Kalemin rengiyle ilgilenirsek olası durumlar nelerdir? (c) Kırmızı olma ihtimali ile yeşil olma ihtimalini karşılaştırınız. (ç) İhtimaller eşit olsun istenirse hangi renkten kaç kalem çıkarılmalıdır? (d) Bunun yerine kalem eklenebilseydi en az kaç kalem eklenmeliydi?
Çözümü göster
(a) Olası durum sayısı. Soru "bir kalem seçilmesi" diyor; yani hangi kalemin seçildiğiyle ilgileniyoruz:
toplam kalem = 8 + 5 = 13
→ Olası durum sayısı 13'tür.
(b) Renkle ilgilenirsek. Bu kez sorduğumuz soru değişti:
Olasi durumlar: kirmizi, yesil Olasi durum sayisi: 2
Dikkat: aynı deney, iki farklı olası durum sayısı (13 ve 2). Belirleyen şey neyle ilgilendiğimizdir.
(c) İhtimalleri karşılaştıralım. Çıktı sayılarına bakalım:
kirmizi: 8 cikti yesil : 5 cikti 8 > 5
→ Kırmızı olma ihtimali, yeşil olma ihtimalinden daha fazladır.
(ç) Çıkarma ile eşitleme. Yalnızca çıkarma yapabiliyorsak hedef, en az olan sayıdır:
hedef = 5 (yesil kalem sayisi) Kirmizidan cikarilacak: 8 - 5 = 3
→ 3 kırmızı kalem çıkarılmalıdır.
Son durum: 5 kırmızı, 5 yeşil → ihtimaller eşit ✓ Kutuda 10 kalem kalır.
(d) Ekleme ile eşitleme. Bu kez hedef, en çok olan sayıdır:
hedef = 8 (kirmizi kalem sayisi) Yesile eklenecek: 8 - 5 = 3
→ 3 yeşil kalem eklenmelidir.
Son durum: 8 kırmızı, 8 yeşil → ihtimaller eşit ✓ Kutuda 16 kalem olur.
Karşılaştırma: Çıkarmayla eşitlemek 3 kalem çıkarmak (sonuçta 10 kalem), eklemeyle eşitlemek 3 kalem eklemek (sonuçta 16 kalem) gerektirdi. İkisi de geçerli çözümdür; soru hangisini istediğini belirtmelidir.
⚠️ Sık yapılan hatalar
- “Olası durum sayısı her zaman renk ya da tür sayısıdır” yanlıştır. Neyle ilgilendiğimize bağlıdır: 8 kırmızı 5 yeşil kalemde renkle ilgilenirsek 2, hangi kalem olduğuyla ilgilenirsek 13 olası durum vardır.
- “Olay ile olası durum aynı şeydir” yanlıştır. Olası durumlar bütün sonuçlardır; olay, bunların içinde gerçekleşmesi istenen bölümdür. "İSTANBUL"da 8 olası durum, "sesli harf" olayında 3 çıktı vardır.
- “Şartı sağlamayan durumlar da olası durumdur” yanlıştır. Ege Bölgesi'ne gidilecekse Antalya ya da Eskişehir olası durum değildir.
- “İhtimalleri karşılaştırmak için olasılık hesaplamak gerekir” yanlıştır. Aynı deneyde çıktı sayılarını karşılaştırmak yeterlidir: 18 < 23 olduğundan levrek ihtimali daha azdır.
- “Eşitleme için istenen sayıyı hedef alabiliriz” yanlıştır. Yalnızca çıkarma yapılabiliyorsa hedef en az sayıdaki gruptur; ekleme yapılabiliyorsa en çok sayıdaki gruptur.
✏️ Olası Durumlar soruları
Şıkka dokun, doğru mu yanlış mı hemen gör; altında çözümü çıkar. Üyelik gerekmez.
1. Bir zar atıldığında "5'ten küçük gelme" olayının kaç olası durumu vardır?
Zarın bütün olası durumları: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bunlardan olaya uyanlar: 1, 2, 3, 4.
Olayın 4 olası durumu var.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 4
Zarın bütün olası durumları: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bunlardan olaya uyanlar: 1, 2, 3, 4.
Olayın 4 olası durumu var.
2. Bir zar atıldığında "3'ün katı gelme" olayının kaç olası durumu vardır?
Zarın bütün olası durumları: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bunlardan olaya uyanlar: 3, 6.
Olayın 2 olası durumu var.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 2
Zarın bütün olası durumları: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bunlardan olaya uyanlar: 3, 6.
Olayın 2 olası durumu var.
3. Bir zar atıldığında "4'ten büyük gelme" olayının kaç olası durumu vardır?
Zarın bütün olası durumları: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bunlardan olaya uyanlar: 5, 6.
Olayın 2 olası durumu var.
Cevabı ve çözümü göster
Cevap: 2
Zarın bütün olası durumları: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bunlardan olaya uyanlar: 5, 6.
Olayın 2 olası durumu var.
📝 Bu konu hangi yazılıda çıkar?
MEB'in ortak yazılı konu-soru dağılım tablosuna göre bu ünite şu yazılılarda sorulur. Okulundaki zümre tablodaki senaryolardan birini seçer.